彼（ラムジー）は同様の見方を命題関数の概念の変更に適用した。ホワイトヘッドと私は、命題関数を、不定の変項を含み、その変項にある値が与えられるやいなや普通の文となるような一つの式（expression 表現）である、と考えた。（つまり）たとえば「x は人間である」は、x に何か固有名を代入するやいなや、普通の文となる。命題関数のこの見方においては、命題関数は、その変項に関する点を別とすれば、内包(的規定)(intentions)によって構成されている。「人間である(is human)」という句（words 連語）は、多くの通常の文の共通部分をなすものであり、命題関数はそういった文の束をつくる一つの方法である（「a number of 多数の」を野田氏は「或る数の」と訳出／ここではいっぱい文をつくれることを言っている）。関数の値は、変項のいくつかの値に応じて、その句の固有の性質によって、確定的なものになる。（これに対し）ラムジーは命題関数を全く別の仕方で考えた。彼は、命題関数を、変項の（いろいろな）値に（いろいろな）命題を相互に関連付けるための手段にすぎないものだ、と考えた。彼は言う、「前に定義した述語関数（a predicative function）の概念　－それを我々は一定の目的のためになお必要とするであろう－　に加えて、我々は命題関数の新たな概念を外延的に（in extention）定義するあるいはむしろ説明する。というのは、我々の体系ではそれを定義できないものと取り扱わなければならないからである。そういった一つの個物（individual）の関数は、命題と個物(individuals)との間の外延的な一対多の関係のいかなるものからも生じる(results from)。即ち、（それは）各々の(全ての)個物に（それぞれ）固有の命題を関係づけ（associate 結びつけ） －それが実行可能であれ実行不可能であれ（どちらであっても）－ 個物が関数の変項の値であり、命題が関数の値であるようにすることによって生じる一つの相関関係(a correlation)である。

　このようにして φ（ソクラテス）は「アン女王は死んだ」でありうるし、 φ（プラトン）は「アインシュタインは偉大な人である」でありうる。 φx’（注：xの上に山形の印あり）は、φxという命題をxという個物に恣意的に結びつけることにすぎない」。（ラムジー『数学の基礎』p.52） 　「命題関数」という概念のこの新たな説明によって、ラムジーは「還元公理」なしですませることができるし、また、「 x = y 」を、『プリンキピア・マテマティカ(数学原理)』における定義と記号上区別できない形（であるもの）によって －ただし今や新たな解釈を与えて－ 定義することができる。このようにして、彼は、『プリンキピア・マテマティカ』の記号的部分をほとんど変更することなく保持することに成功している。この記号的部分について彼は言う、「形式上はそれはほとんど変更されていない。しかしその意味は随分変えられている。このように解釈を変えながら形式を保存することにおいて、私（＝ラムジー）は一連の驚くべき定義によって、数学を懐疑論者の手から救い出し、数学の命題に厳密な証明（demonstration）を与えたあの数学的論理学者達の偉大な学風に従っているのである。このようにしてのみ、我々は数学をブラウワーやワイルらの過激派の脅威から守ることができるのである。」（『数学の基礎』、p.56）

Chapter 10 The Impact of Wittgenstein, n.21
He applied a similar point of view in changing the conception of a propositional function. Whitehead and I thought of a propositional function as an expression containing an undetermined variable and becoming an ordinary sentence as soon as a value is assigned to the variable: ‘x is human’, for example, becomes an ordinary sentence as soon as we substitute a proper name for ‘x’. In this view of propositional functions, they are constituted by intensions except as regards the variable or variables. The words ‘is human’ form part of a number of ordinary sentences, and the propositional function is a method of making a bundle of such sentences. The values of the function are determinate for the several values of the variable in virtue of the intrinsic character of the phrase. Ramsey conceived of propositional functions quite differently. He thought of them as merely a means of correlating propositions with values of variables. He says, ‘in addition to the previously defined concept of a predicative function, which we shall still require for certain purposes, we define, or rather explain, for in our system it must be taken as indefinable, the new concept of a propositional function in extension. Such a function of one individual results from any one-many relation in extension between propositions and individuals; that is to say, a correlation, practicable or impracticable, which to every individual associates a unique proposition, the individual being the argument to the function, the proposition its value. Thus φ (Socrates) may be Queen Anne is dead, φ (Plato) may be Einstein is a great man; φx being simply an arbitrary association of propositions φx to individuals x” [Foundations of Mathematics, page 52]. By using this new explanation of the concept ‘propositional function’, he is able to dispense with the axiom of reducibility and is also able to define ‘x = y’ in what is symbolically indistinguishable from the definition in the Principia, though it now has a new interpretation. In this way he succeeds in preserving the symbolic parts of Principia Mathematica almost unchanged. He says concerning this symbolic part, ‘Formally it is almost unaltered; but its meaning has been considerably changed. And in thus preserving the form while modifying the interpretation, I am following the great school of mathematical logicians who, in virtue of a series of startling definitions, have saved mathematics from the sceptics, and provided a rigid demonstration of its propositions. Only so can we preserve it from the Bolshevik menace of Brouwer and Weyl’ ( Foundations of Mathematics, page 56). 　
　Source: My Philosophical Development, chap. 10：1959． 　
　More info.:https://russell-j.com/beginner/BR_MPD_10-210.HTM

　『プリンキピア・マテマティカ（数学原理)』の第二版が出て間もなく、還元公理（還元可能性の公理）の問題はラムジ一（Ramsey, Frank Plumpton, 1903-1930：ケンブリッジ大卒の数学者、哲学者）によって、二つの重要な論文 －（即ち）「数学の基礎」（1925年）と「数理論理学（数学的論理学）」（1926年）とにおいて、とりあげられた(taken up by)。不幸にもラムジーーは若くしてなくなったことにより、彼の見解は十分かつ完全に展開されるにいたらなかったが、彼が成し遂げたことは非常に重要であり、最大限の真摯な考察に値する。彼の主張（main thesis 主なテーゼ）は、数学は全く（純粋に）外延的なものに帰せられるべきであるということと、『プリンキピア・マテマティカ』の種々の難しい問題は、内包的見地が不当に入り込んだために（an illegitimate intrusion）生じたのだということ、であった。ホワイトヘッドと私は、集合は命題関数によってのみ定義され、このことは（単純）枚挙によって定義されると思われるような集合についても言える、という考えを抱いていた（had held that)。たとえば,三つの個物(individuals) a, b, c から成る集合は、「x = a あるいは x = b あるいは x = c である」という命題関数によって定義される。同一性に対するウィトゲンシュタインの反対（ラムジーは同一性を受けいれた）はこの方法（注：集合を命題関数によって定義する方法）を不可能にしたが、他方、ラムジーは無限集合を枚挙によって定義することには論理的にはまったく反対する理由はないと考えた。我々（ホワイトヘッドとラッセル、あるいは人間一般）は死すべき者なので、単純枚挙によっては無限集合を定義できないが、我々が死すべき者であることは経験的事実であり、論理学者が無視すべきものである（とラムジーは考えた。／注：論理学は永遠の真理を取り扱うもの）。このこのとを根拠に、ラムジーは、「乗法公理」はトートロジー（同語反復=恒真命題）であると考えた。たとえば、無限の数の靴下（のペア）を持っていた億萬長者の例にもどると、ラムジーは、ペアの靴下のひとつの靴下（＝片足分）を選び出すのに規則は必要でないと主張した。論理（学）に関する限り、無限数の（任意の）恣意的な選択も、有限数のそれと同じく、許容すべきものである、と彼は考えた（のである）

Chapter 10 The Impact of Wittgenstein, n.20 Shortly after the second edition of the Principia was published, the problem of the axiom of reducibility was taken up by F. P. Ramsey in two very important papers: The Foundations of Mathematics, published in 1925 , and Mathematical Logic, published in 1926 . Ramsey’s early death, unfortunately, prevented a full and complete development of his views, but what he had achieved was very important and deserves most serious consideration. His main thesis was that mathematics must be rendered purely extensional and that the troubles of the Principia arose from an illegitimate intrusion of an intensional point of view. Whitehead and I had held that a class can only be defined by means of a propositional function and that this applies even to classes that seem to be defined by enumeration. For example, the class consisting of the three individuals a, b, and c is defined by the propositional function ‘x = a or x = b or x = c’. Wittgenstein’s rejection of identity (which Ramsey accepted) made this method impossible, but, on the other hand, Ramsey considered that there is no logical objection to the definition of an infinite class by enumeration. We cannot define an infinite class in this way because we are mortal, but our mortality is an empirical fact which logicians should ignore. On this ground, he held, the multiplicative axiom is a tautology. To revert, for example, to the millionaire who had an infinite number of pairs of socks, Ramsey held that it was not necessary to have a rule by which to pick one sock out of each pair. He thought that so far as logic is concerned an infinite number of arbitrary choices is just as allowable as a finite number.
　Source: My Philosophical Development, chap. 10：1959． 　
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　『プリンキピア・マテマティカ(数学原理)』第二版において、我々は次のように言っている。「（還元公理と悪循環原理の）いずれの改善が明らかに望ましいかに関する要点は、還元公理である（訳注：意味が今ひとつわからない。還元公理の方を推し進めたほうがよいと言っていると思われるが、構文が今ひとつ理解できない？）。還元公理には純粋に実際的な正当化（できるもの）がある。つまり、還元公理は望まれる結果に導くとともに、それ以外の結果には導かない，ということである。しかし、明らかにそれは我々が満足できるような種類の公理ではない。けれども、このことについては、満足すべき解決が得られたとは今のところ(as yet)まだ言うことができない。レオン・フヴィステク博士（Dr Leon Chwistek 1884-1944：ポーランドの画家,芸術理論家,数学者）はこの公理を捨て去り、しかもそれに代るものを何も採用しないという勇敢なやり方を選んだ。彼の研究から、このやり方は我々に通常の数学の多くの部分を犠牲にすることを強いることは、明らかである。哲学的理由でウィトゲンシュタインによって推奨された別の（もうひとつの）やり方がある。それは、命題関数は常に真理関数であると仮定し、また一つの関数はその（いろいろな）値を通して（値を代入することによって）のみ一つの命題の中に生じる、と仮定している。この見解の行く手を邪魔する困難が存在している（in the way of ～の邪魔になって）が、それは克服できないもの（ insurmountable）では多分ないであろう。この仮定には，全ての関数の関数は外延的であるという帰結を必然的に伴っている（含んでいる）。それは,「Ａはpを信ずる」が p の関数ではないと主張することを要求する。どうしてこのことが可能であるかは『論理哲学論考』（pp.19-20）に示されている。我々（ラッセルとホワイトヘッド）はこの理論が確実に正しいと（まで）主張するつもりはないが、それは次の（以下の）ページでその諸帰結について努力して理解する値打ちがある(worth while to work out)と思われた。(『プリンキピア・マテマティカ』の)第一巻に記述した全てのことは依然として真であり（ただし新しい証明がしばしば必要である）、また帰納的基数及び帰納的順序数の理論も(まだ)生き残っている。しかし無限デデキント的整列系列の理論(infinite Dedekindian and well-ordered series)は大部分崩壊しており、従って無理数、および実数一般はもはや十分に処理できない（扱えない）と思われる。カントールの　2n ＞ n の（注：２n は２のn乗）証明も、n が有限でなければ破綻する。さらなる公理 －還元公理ほど客観性のない他の公理－ がこれらの望ましい結果（results)を与えるかも知れないが、我々のそういう公理を発見することに（いまだ）成功していない。」（『プリンキピア・マテマティカ』序論 p.14）

Chapter 10 The Impact of Wittgenstein, n.19 In the second edition, we say: ‘One point in regard to which improvement is obviously desirable is the axiom of reducibility. This axiom has a purely pragmatic justification: it leads to the desired results, and to no others. But clearly it is not the sort of axiom with which we can rest content. On this subject, however, it cannot be said that a satisfactory solution is as yet obtainable. Dr Leon Chwistek took the heroic course of dispensing with the axiom without adopting any substitute; from his work, it is clear that this course compels us to sacrifice a great deal of ordinary mathematics. There is another course, recommended by Wittgenstein for philosophical reasons. This is to assume that functions of propositions are always truth-functions, and that a function can only occur in a proposition through its values. There are difficulties in the way of this view, but perhaps they are not insurmountable. It involves the consequence that all functions of functions are extensional. It requires us to maintain that ‘A believes p’ is not a function of p. How this is possible is shown in Tractatus Logico-Philosophicus (loc. cit. and pages 19 – 21 ). We are not prepared to assert that this theory is certainly right, but it has seemed worth while to work out its consequences in the following pages. It appears that everything in Vol. I remains true (though often new proofs are required); the theory of inductive cardinals and ordinals survives; but it seems that the theory of infinite Dedekindian and well-ordered series largely collapses, so that irrationals, and real numbers generally, can no longer be adequately dealt with. Also Cantor’s proof that 2n ＞ n breaks down unless n is finite. Perhaps some further axiom, less objectionable than the axiom of reducibility, might give these results, but we have not succeeded in finding such an axiom’ (Introduction, page XIV).
　Source: My Philosophical Development, chap. 10：1959． 　
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『プリンキピア・マテマティカ（数学原理』の初版において、我々（ラッセルとホワイトヘッド）は、この公理（還元公理）を受け入れる理由を次のように述べている。「『還元公理』は自明であるということは、ほとんど主張できない命題である。しかし、実際には(in fact)、自明性というのはある公理を認める理由の一部分にすぎないのであり（←　一部以上のものでは決してないのであり）、決して不可欠なものではない。ある公理を受容する理由は、他の任意の（いかなる）命題を認める理由と同じく、常に主に帰納的なもの（理由）である。即ち、ほとんど疑うことができない多くの命題は還元公理から演繹されうるということ、還元公理が偽であるとしても、それらの命題を真だとすることができるところの、等しくもっともらしい他の方法が知られていないこと、また、さらに多分偽だと思われるようなものは何もその公理から演繹することはできないこと、である。たとえ還元公理が外見上自明であるとしても（If = even if）、それは、実際上、還元公理がほとんど疑いえないということを意味しているにすぎない。というのは、（多くの）物事はこれまで自明だと考えられてきており（きているが）、それらはいまだ（yet）偽であると判明していないのである。（訳注：for things have been thought to be self-evident and have yet turned out to be false.「yet」は否定文や疑問文だけでなく、肯定文の中で使われたとしても「未完の状態を表す」。みすず書房版の訳書で、野田氏は「なぜなら、過去に自明だと考えられたことで後に疑であることが判明したことが数々あるからである」と訳出している。「yet」をまったく無視している。） たとえ（if = evenif)還元公理自体がほとんど疑いえぬものであるとしても、それは還元公理の諸帰結がほとんど疑いえないという事実から得られる帰納的証拠を増やすだけである（だけにすぎない）。それは根本的にちがった種類の新たな証拠を与えるものではない。不可謬性は決して到達できるものではなく、従って、あらゆる公理とそのすべての帰結とにはいくらかの疑い（疑問点）が常に（当然）付着しているはずである。形式論理においては、疑わしい点は大多数の科学におけるよりも少ないが、全くないわけではない。それは、以前には制限を要するとは知られていなかった諸前提からいろいろな論理的矛盾（パラドクス）が出て来たという事実によって明らかである。還元公理の場合には、それを正しいと思わせる（in its favour 有利に働く）帰納的証拠は非常に有力である。なぜなら、還元公理が許容する推論や還元公理が導きだす結果は、全て妥当であると思われるようなものだからである。しかし、この公理が後に偽であると判明するようなことはあまりありそうもないと思われるけれども、還元公理が何か他のいっそう根本的かつ明白な公理から演繹可能であることが発見されることは決してありえないことではない。上述の型（タイプ）の階層組織に示されたような、「悪循環原理」（vicious circle principle ）の使用は必要以上の荒療治であって(more drastic than it need be)、そういう荒療治を少なくすれば、還元公理の必要性も避けられる可能性はあるであろう。けれども、たとえそういう変更がなされても、上にのべた諸原理にもとづいて主張された事柄が偽となるわけではないであろう。そういう変更は、同じ諸定理のより容易な証明を提供するにすぎないであろう。従って、還元公理の使用が我々を誤まりに導くかも知れないという恐れにはまことにわずかな根拠しかないように思われる。」（序論、第二章第七節） 　

Chapter 10 The Impact of Wittgenstein, n.18
In the first edition of the Principia we set out the reasons for accepting the axiom as follows: ‘That the axiom of reducibility is self-evident is a proposition which can hardly be maintained. But in fact self-evidence is never more than a part of the reason for accepting an axiom, and is never indispensable. The reason for accepting an axiom, as for accepting any other proposition, is always largely inductive, namely that many propositions which are nearly indubitable can be deduced from it, and that no equally plausible way is known by which these propositions could be true if the axiom were false, and nothing which is probably false can be deduced from it. If the axiom is apparently self-evident, that only means, practically, that it is nearly indubitable; for things have been thought to be self-evident and have yet turned out to be false. And if the axiom itself is nearly indubitable, that merely adds to the inductive evidence derived from the fact that its consequences are nearly indubitable: it does not provide new evidence of a radically different kind. Infallibility is never attainable, and therefore some element of doubt should always attach to every axiom and to all its consequences. In formal logic, the element of doubt is less than in most sciences, but it is not absent, as appears from the fact that the paradoxes followed from premisses which were not previously known to require limitations. In the case of the axiom of reducibility, the inductive evidence in its favour is very strong, since the reasonings which it permits and the results to which it leads are all such as appear valid. But although it seems very improbable that the axiom should turn out to be false, it is by no means improbable that it should be found to be deducible from some other more fundamental and more evident axiom. It is possible that the use of the vicious-circle principle, as embodied in the above hierarchy of types, is more drastic than it need be, and that by a less drastic use the necessity for the axiom might be avoided. Such changes, however, would not render anything false which had been asserted on the basis of the principles explained above: they would merely provide easier proofs of the same theorems. There would seem, therefore, to be but the slenderest ground for fearing that the use of the axiom of reducibility may lead us into error’ (Introduction, Chapter II, Section VII).
　Source: My Philosophical Development, chap. 10：1959． 　
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　さて（now 今や）,この還元公理の主張内容は何であるか、また、なぜそれは必要と思われるかについて、説明することを試みなければならない。先に（前の方で）私は、諸特性の何らかの全体への関係を含む特性と、全体への関係を含まない特性との相違について説明を行った。諾特性の全体への関係に言及するところの特性（注：自己言及）は、問題の発生源とになりやすい。たとえば、次の定義を立てると仮定しよう。（即ち）「典型的なイギリス人とは、イギリス人の大多数の持つ全ての特性を持つ人（英国人）である（のことを言う）。」　容易にわかることだが、大多数のイギリス人（英国人）は、大多数のイギリス人が持つところの諸特性のすべてを持つつとは言えない。それゆえ、上の定義通りに考えると、典型的な一人のイギリス人というのはかえって非典型的であることになる。（訳注：たとえば、多くの日本人が持っている特徴の全て持っている日本人は数が少ないので、そういった人は「典型的な」日本人とは言えない。）　その（困難な）問題は、「典型的（typical）」という語が、（まず）全ての特性への言及によって定義され、そうして､それ自身一つの特性としてとり扱われているということ（事実）から生じている（のである）。それゆえ、「全ての特性」について正当に（legitimate）語りうるためには、文字通り（really 実際に）「全ての特性」を意味すべきではなく、「諸特性の全体への関係に言及しない全ての特性」をのみを意味すべきである、と（私には）思われた。そういう特性を、前述したように、我々は「述語的(predicative)」と言った。還元公理の主張は、述語的でない特性は常にどれかの述語的特性に形式的に(formally)等値である、ということである。（二つの特性が形式的に等値であるのは、それらが対象物の同一の集合に属する場合、あるいは、もっと正確に言えば、それらの特性があらゆる独立変数（変項）に対して同じ真理値を持つ場合である。） 　

Chapter 10 The Impact of Wittgenstein, n.17
I must now try to explain what the axiom asserts and why it seemed necessary. I have explained earlier the difference between properties which refer to some totality of properties and properties which do not. Properties which refer to a totality of properties are apt to be a source of trouble. Suppose, for example, you were to suggest the definition, ‘a typical Englishman is one who possesses all the properties possessed by a majority of Englishmen’. You will easily realize that most Englishmen do not possess all the properties that most Englishmen possess, and therefore a typical Englishman, according to your own definition, would be untypical. The trouble has arisen through the fact that the word ‘typical’ has been defined by a reference to all properties and has then been treated as itself a property. It seemed therefore that, if it is to be legitimate to speak of ‘all properties’, you must not really mean ‘all properties’, but only ‘all properties that do not refer to a totality of properties’. Such properties, as I explained earlier, we defined as ‘predicative’. The axiom of reducibility asserted that a property which is not predicative is always formally equivalent to some predicative property. (Two properties are formally equivalent when they belong to the same set of objects, or, to state the matter more exactly, when their truth-values are the same for every argument. )
　Source: My Philosophical Development, chap. 10：1959． 　
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　『数学原理(プリンキピア・マテマティカ)』の第二版（1925年刊）において、私はウィトゲンシュタインのいくつかの説（学説）について触れた。第２版用の新たな序論で（ウィトゲンシュタインの）「外延性の原理」を採用し、同書の付録Cのなかで、この原理に対してすぐに思いつく諸批判を吟味し（considered the obvious objections to it）、全体として見れば（on the whole）、そういった批評は正しくない（invalid 妥当ではない）、という結論を出した。この新版における私の主な目的は「還元公理（還元可能性の公理）」（axiom of reducibility）の使用を最小限にすることであった。この還元公理は　- この後直ぐに説明する-　我々が一方で論理的矛盾を回避し他方で通常争う余地がない（明白である）と考えられている数学の全ての部分を保持しようとするならば、採用せざるをえないもの(学説)である（必須である）と（私には）思われた。しかし,還元公理は反論可能であり、また（さらにより重要な点であるが）実際それが真であるとしてもその真理性は、経験的なものであって論理的なものではないと思われるがゆえに、この公理は、異論をさしはさむ余地のあるものであった。ホワイトヘッドも私も，この公理は我々（プリンキピア・マテマティカ）の体系の汚点（blot）であると認識した。しかし、私は、少なくとも、その公理をユークリッドの平行線の公理と似たものと考えていた。平行線の公理もユークリッド幾何学の汚点と考えられてきたものであった。私は、その公理なしですませる何らかの方法が遅かれ早かれ見出されるであろうと考え、そうして、発見されるまでの間は、多くの困難をこの一点に集約しておくことはよいことだと考えた。そうして、『プリンキピア・マテマティカ（数学原理）』の第二版では、以前はその公理が不可欠だと考えられた多くの場合において、特に数学的帰納法のあらゆる使用において、その公理をなしですませることに成功した（のである）。

Chapter 10 The Impact of Wittgenstein, n.16
In the second edition of Principia Mathematica (1925 ), I took account of some of Wittgenstein’s doctrines. I adopted the principle of extensionality in a new Introduction and considered the obvious objections to it in Appendix C, deciding, on the whole, that they are invalid. My chief purpose in this new edition was to minimize the uses of the ‘axiom of reducibility’. This axiom, which I shall explain in a moment, seemed necessary if we are, on the one hand, to avoid contradictions and, on the other hand, to preserve all of mathematics that is usually considered indisputable. But it was an objectionable axiom because its truth might be doubted and because (what is more important) its truth, if it is true, seems to be empirical and not logical. Whitehead and I recognized that the axiom was a blot upon our system, but I at least thought of it on the analogy of the axiom of parallels, which had been considered a blot upon Euclid’s geometry. I thought that some way of dispensing with the axiom would be found sooner or later, and that meantime it was a good thing to have the difficulties concentrated in one single point. In the second edition of the Principia, I succeeded in dispensing with the axiom in a number of cases in which it had formerly seemed indispensable, and, more particularly, in all uses of mathematical induction.
　Source: My Philosophical Development, chap. 10：1959． 　
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　上の二つの原理に関して私の到達した結論は次のようなものであった。（即ち）「(1)外延性の原理は、もしそれを厳格に解釈するならば、『 A が p を信ずる』というような文の分析によっては、偽であるとは示されない（証明されない）。（また）(2)同じ分析によって、原子性の原理が偽であることを証明されないが（←証明しないが）、それが真であることを証明するには十分でない。」（『意味と真偽の探求』p.273） 　上の二つの原理に対するもっと普通な批評は、単純者(simples)や原子的事実(atomic facts)の存在を信ずべき理由がまったく存在しない、ということである。彼自身も後にはそう考えるようになったと私は思う。しかし、この問題を論議することは『論考』からあまりに離れすぎるてしまう。（そこで）後の章でこの問題を再びとりあげることにする。 　ウィトゲンシュタインは論理学は全てトートロジー（同語反復）から成っていると主張する。私はこの点（主張）において彼は正しいと思うが、私はこの問題に関する彼の発言を読むまではそう考えてはいなかった。このことと関連している大変重大なもうびとつの要点がある。それは、全ての原子的命題は相互に独立しているということである。以前には、一つの事実が他の事実に論理的に依存することはありうると考えられるのが常であった（It used to be thought that 通常そう考えられていた）。しかしそれは、その諸事実（注：３つ以上の事実の場合もあるだろうが、ここでは２つの事実）の一つが実は（really）２つの事実を一緒にしたものである場合にのみ真である。（たとえば）「 A と B とは人間である」から「 A は人間である」が論理的に帰結するが、それはもともと「 A と B とは人間である」が二つの命題（訳注：「Aは人間である」という命題＋「Bは人間である」という命題）を一緒にしたものであるからである。そして我々が今考えている（念頭にある）この原子性の原理からの帰結は、現実の世界において、真である原子的事実のいかなる選択も、論理的に示すことができる限りにおいて、原子的事実の全体でありうるということである。しかし、明らかなように、この点に関しては「原子性の原理」が不可欠であり、もしこの原理が真でないならば（偽ならば）、我々が知りうる最も単純な諸事実といえども、時には論理的に結びついていないと（いうことに）は確信がもてない（確実ではない）のである。

Chapter 10 The Impact of Wittgenstein, n.15
The conclusion that I reached in regard to both principles was as follows: ‘(l) that the principle of extensionality is not shown to be false, when strictly interpreted, by the analysis of such sentences as “A believes p”; (2) that this same analysis does not prove the principle of atomicity to be false, but does not suffice to prove it true’ (Inquiry, page 273). The more usual criticism of both Wittgenstein’s principles is that there is no reason to believe in simples or in atomic facts. I understand that he himself came to think so later on. But to discuss this question would take us too far from the Tractatus. I shall return to it in a later chapter. Wittgenstein maintains that logic consists wholly of tautologies. I think he is right in this, although I did not think so until I read what he had to say on the subject. There is another point connected with this which is very important, and that is that all atomic propositions are mutually independent. It used to be thought that one fact could be logically dependent upon another. This can only be the case if one of the facts is really two facts put together. From ‘A and B are men’ it follows logically that A is a man, but that is because ‘A and B are men’ is really two propositions put together. The consequence of the principle we are considering is that any selection of the atomic facts which are true in the actual world, might be the total of atomic facts so far as logic can show, but, as is obvious, the principle of atomicity is essential in this connection, and, if it is not true, we cannot be sure that the simplest obtainable facts may not be sometimes logically connected.
　Source: My Philosophical Development, chap. 10：1959． 　　
　More info.:https://russell-j.com/beginner/BR_MPD_10-150.HTM

　ウィトゲンシュタインの論拠（議論）は、「 A が p を信ずる」は p の関数 (function)ではなく、A が pという命題を言いあらわすところの語 (words)の関数、あるいは A の信念（信ずること）をなしているその人の何らかの身体的状態の関数、である、ということである。かれ自身は、例のごとく（as usual いつものように）、預言者的であり、自分の意見をあたかもロシア皇帝の勅令（訳注：a Czar’s ukase）であるかのごとく言い放っている。けれども、もっと謙虚な人々（humbler folk）はそういったやり方（this procedure）にはほとんど満足できない。私はこの問題を『意味と真理との研究(An Inquiry into Meaning and Truth)』（267ページ以下）において吟味した。しかし、私が達した結論はいくらかためらいがちなものである。 　「原子性の原理」をウィトゲンシュタインは次のように述べている（訳注：in the following terms『論理哲学論考』の以下の条項で述べている。← 『論考』は箇条書きに書かれているため！）、「複合物（complex 複合体）についてのいかなる陳述（statement 言明）も、その複合物（複合体）の構成部分（全成分）についての一つの陳述（言明）と、その複合物（複合体）を完全に記述する諸命題（諸文）とに、分析され得る（分析可能である）」（『論文』2.0201）。この原理は、分析(の可能)を信ずるということを言いあらわしたものととって（解釈して）よいだろう（may be taken as embodying the belief in analysis）。ウィトゲンシュタインが『論考』を書いた当時 －彼は後には信じなくなったと私は理解しているが－ 彼は世界は様々な特性や関係を持つ多くの単純者（simples）から成っていると信じていた。単純者のもつ単純な特性および単純な関係は「原子的事実」であり、この原子的事実の主張が「原子的命題（原子命題）」である。そこで「原子性の原理」の要点(gist)は、もし我々があらゆる原子的事実を知り、かつそれら事実が原子的事実の全てであることを知るならば、我々はそこから他の全ての真なる命題を、論理のみによって推論することができるであろう、ということである。しかしこの原子性の原理に関して生じる最も重大な困難（difficulties 問題）は、再び、「 A が p を信ずる」というような命題に関連している。というのは、ここでは　p は複合的であり、ひとつの複合物（複合体）として登場する（enters as）からである。こういった命題は、二つの動詞　－ ひとつは主要な動詞、もう一つは従属的な動詞－を含んでいるということで特徴づけられる。非常に簡単な例をあげよう。たとえば、「 A は B が熱い状態である(is)と信じる(believes)」。この時、「信じる(believes)」は主要な動詞であり、「ある(is)」は従属的な動詞である。「原子性の原理」は、従属的な複合物（複合体）である「Bは熱い状態にある」を持ち込むことなしに、その事実を言いあらわす方法を見出すことを要求する（のである）。この原理についてもまた、私は『意味と真偽の研究（Inquiry）』（p.262以下）で詳細に論じた。

Chapter 10 The Impact of Wittgenstein, n.14
Wittgenstein’s argument is that ‘A believes p’ is not a function of p, but of the words in which A expresses the proposition p or the bodily state, whatever it be, which constitutes his believing. He, himself, as usual, is oracular and emits his opinion as if it were a Czar’s ukase, but humbler folk can hardly content themselves with this procedure. I have examined the problem at length in An Inquiry into Meaning and Truth (pages 267 ff.), but the conclusion at which I arrived is somewhat hesitant. The principle of atomicity is stated by Wittgenstein in the following terms: ‘Every statement about complexes can be analysed into a statement about their constituent parts, and into those propositions which completely describe the complexes’ (Tractatus, 2.0201). This principle may be taken as embodying the belief in analysis. At the time when Wittgenstein wrote the Tractatus he believed (what, I understand, he came later to disbelieve) that the world consists of a number of simples with various properties and relations. The simple properties and simple relations of simples are ‘atomic facts’ and the assertions of them are ‘atomic propositions’. The gist of the principle is that, if you knew all atomic facts and also knew that they were all, you would be in a position to infer all other true propositions by logic alone. The most important difficulties that arise in connection with this principle are, again, concerned with such propositions as ‘A believes p’, for here p is complex and enters as a complex. Such propositions are characterized by the fact that they contain two verbs, one principal and the other subordinate. Let us take a very simple example, say: ‘A believes that B is hot.’ Here ‘believes’ is the principal verb and ‘is’ is the subordinate verb. The principle of atomicity would require us to find a way of expressing the fact without introducing the subordinate complex ‘B is hot’. This principle, also, I discussed at length in the Inquiry” (pages 262 ff.).
　Source: My Philosophical Development, chap. 10：1959． 　
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　ウィトゲンシュタインは、それらがもし真ならば非常に重要である、二つの一般的原理を公表した(announced)。即ち、外延性の原理（the principle of extensionality／現在では the axiom of extensionality 「外延性の公理」か）と原子性(不可分性？)の原理」（the principle of atomicity）である。 「外延性の原理」によれば、一つの命題 p に関する任意の陳述の真偽はその命題の真偽にのみ依存する（によってのみ決定される）ということであり、また、一つの命題関数を含む任意の陳述の真偽はその関数の外延にのみ依存する（によってのみ決定される）。言いかえれば（即ち）、その真偽はその命題関数を真とするような値の範囲（range 領域）に依存する（によってのみ決定される）。一見したところでは(On the face of it)、こういう主張に反対する明白な論拠がある。たとえば「A（なる人物） が p を信ずる」という例をとってみよう。明らかに、あるいくつかの真なる命題を信じているが他の真なるいくつかの命題を信じない人は存在しているので、「 A は p を信ずる」の真偽は p の真偽にのみに依存しない（によって決定されない）。ウィトゲンシュタインはこの問題について非常に晦渋な一連の文章（cryptic passages）を書いている。彼は言う、「一般的命題形式においては、（諸）命題は、真理操作(truth-operations)の(諸)基礎として、一つの命題の中においてのみ見いだされる（occur in)。（訳注：みすず書房刊の訳書で、野田氏は「一つの命題の内容の中に含まれる諸命題は、ただ真理操作の諸基盤としてのみある」と訳されているが、ラッセルの英文（ propositions occur in a proposition only as …）からは「一つの命題の内容の中に含まれる諸命題」という訳は、「occur」を無視しないとでてこないはず。」　（続けて） 「一見したところ、一つの命題が他の命題の中に現われる別のやり方もあるかのように見える。」 「特に心理学に属するいくつかの命題形式、たとえば、「 A は p が事実であると考える（A thinks, p is the case）」とか「 A は p を考える』などである。 「この場合、表面的には、命題 p がある種の関係において対象 Aの側に立っているかのように見える。」 〔実際、現代の認識論（ラッセル、ムーア他）においては、これらの命題はそのように理解されてきた〕 「しかし、『 A が p を信ずる』とか『 A が p を考える』とか『 A が p を語る」（とかいう命題）は、『「「p」が p を語る』（訳注：「p」という語が p という事実を表す）という形式のものである。この場合びとつの事実とひとつの対象（訳注：ここではある人）との対応があるのではなく、ふたつの事実（陳述とそれが語る事柄）の間の対応が、それらを含む諸対象の間の対応を介して、成り立っているのである。」 「これは － 現代の皮相な心理学で考えられるような－、霊魂（soul）とか主観とかいうようなものが存在しないことを示している。」（『論考』5.44 ff.)

Chapter 10 The Impact of Wittgenstein, n.13 Wittgenstein announced two general principles which, if true, are very important. They are the principle of extensionality and the principle of atomicity. The principle of extensionality says that the truth or falsehood of any statement about a proposition p depends only upon the truth or falsehood of p and that the truth or falsehood of any statement involving a propositional function depends only upon the extension of the function — that is to say, upon the range of values for which the propositional function is true. On the face of it, there are obvious arguments against this thesis. Take, for instance, ‘A believes p’ It is obvious that a man may believe some true propositions but not others, so that the truth of ‘A believes p’ does not depend only upon the truth or falsehood of p. Wittgenstein has a very cryptic passage on this subject. He says, ‘In the general propositional form, propositions occur in a proposition only as bases of the truth-operations. ‘At first sight it appears as if there were also a different way in which one proposition could occur in another. ‘Especially in certain propositional forms of psychology, like “A thinks, that p is the case”, or “A thinks p”, etc. ‘Here it appears superficially as if the proposition p stood to the object A in a kind of relation. ‘[ And in modern epistemology (Russell, Moore, etc.) those propositions have been conceived in this way ] ‘But it is clear that “A believes that p”, “A thinks p” “A says p”, are of the form ” ‘p’ says p”; and here we have no co-ordination of a fact and an object, but a co-ordination of facts by means of a co-ordination of their objects. “This shows that there is no such thing as the soul — the subject, etc. — as it is conceived in contemporary superficial psychology’ ( Tractatus, 5.54 ff’ ). 　
　Source: My Philosophical Development, chap. 10：1959． 　
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　同じ種類の問題が関連する（あてはまる）もうひとつの事項（respect 点）は、「無限の公理」（the axiom of infinity’）と私の呼んだものである。有限の物のみを含んでいる世界においては、その数（その有限の物の数）は、物の集合にとっての最大可能数となるであろう（訳注：無限を認めない世界においては、世界の存在する物の数が、最大数となる）。そういう世界においては、高等数学の全体が崩壊するであろう（訳注：無限数を扱えないことは高等数学にとって致命的）。しかし、世界にどれだけの数の物が存在するかは、純粋に経験的な問題であると私には思われた。そうして、論理学者は、論理学者自体としては（as such 倫理学者の資格として）、その問題について何らかの意見をさしはさむことを許容すべきであるとは考えなかった（許容すべきではないと思った）。それゆえ（論理学者としての）私は、無限数の物を必要とするような数学の部門の全てを仮説的なものとしてとり扱った。これら全てがウィトゲンシュタインを怒らせた。彼によれば「ロンドンにどれだけの数の人間がいるか」とか「太陽にはどれだけの数の分子が含まれているか」とか問うことはできるが、世界の中に少なくともそれだけの数（訳注：ロンドンの住民数や太陽の分子数）のものが存在する、と推論することは無意味なのである。彼の学説の中のこの部分ははっきり言って間違っている、と私には思われる。

Chapter 10 The Impact of Wittgenstein, n.12
Another respect in which the same kind of question was relevant was as to what I had called ‘the axiom of infinity’. In a world containing only a finite number of things, that number would be the greatest possible for a collection of things. In such a world, all higher mathematics would collapse. It seemed to me to be a purely empirical question how many things there are in the world, and I did not think that the logician, as such, ought to permit himself an opinion on the subject. I therefore treated all those parts of mathematics which require an infinite number of things as hypothetical. All this outraged Wittgenstein. According to him, you could ask ‘How many people are there in London?’ or ‘How many molecules are there in the sun?’ but to infer that there are at least that number of things in the world was, according to him, meaningless. This part of his doctrine is to my mind definitely mistaken.
　Source: My Philosophical Development, chap. 10：1959． 　
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