第10章 「ヴィトゲンシュタインの衝撃」 n.19 - 還元公理と悪循環原理
『プリンキピア・マテマティカ(数学原理)』第二版において、我々は次のように言っている。「（還元公理と悪循環原理と）いずれの改善が明らかに望ましいかに関する要点は、還元公理である（訳注：還元公理の改善の方を推し進めたほうがよいと言っていると思われる）。還元公理には純粋に実際的な正当化（できるもの）がある。つまり、還元公理は望まれる結果に導くとともに、それ以外の結果には導かない，ということである。しかし、明らかにそれは我々が満足できるような種類の公理ではない。けれども、このことについては、満足すべき解決が得られたとは今のところ(as yet)まだ言うことができない。レオン・フヴィステク博士（Dr Leon Chwistek 1884-1944：ポーランドの画家,芸術理論家,数学者）はこの公理を捨て去り、しかもそれに代るものを何も採用しないという勇敢なやり方を選んだ。彼の研究から、このやり方は我々に通常の数学の多くの部分を犠牲にすることを強いることは、明らかである。哲学的理由でウィトゲンシュタインによって推奨された別の（もうひとつの）やり方がある。それは、命題関数は常に真理関数であると仮定し、また一つの関数はその（いろいろな）値を通して（値を代入することによって）のみ一つの命題の中に生じる、と仮定している。この見解の行く手を邪魔する困難が存在している（in the way of ～の邪魔になって）が、それは克服できないもの（ insurmountable）では多分ないであろう。この仮定には，全ての関数の関数は外延的であるという帰結を必然的に伴っている（含んでいる）。それは,「Ａは p を信ずる」が p の関数ではないと主張することを要求する。どうしてこのことが可能であるかは『論理哲学論考』（pp.19-20）に示されている。我々（ラッセルとホワイトヘッド）はこの理論が確実に正しいと（まで）主張するつもりはないが、それは次の（以下の）ページでその諸帰結について努力して理解する値打ちがある(worth while to work out)と思われた。(『プリンキピア・マテマティカ』の)第一巻に記述した全てのことは依然として真であり（ただし新しい証明がしばしば必要である）、また帰納的基数及び帰納的順序数の理論も(まだ)生き残っている。。しかし無限デデキント的整列系列の理論(infinite Dedekindian and well-ordered series)は大部分崩壊しており、従って無理数、および実数一般はもはや十分に処理できない（扱えない）と思われる。カントールの 2n ＞ n の証明も、n が有限でなければ破綻する。さらなる公理 －還元公理ほど客観性のない他の公理－ がこれらの望ましい結果（results)を与えるかも知れないが、我々のそういう公理を発見することに（いまだ）成功していない。」（『プリンキピア・マテマティカ』序論 p.14）
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Chapter 10 The Impact of Wittgenstein, n.19
In the second edition, we say: 'One point in regard to which improvement is obviously desirable is the axiom of reducibility. This axiom has a purely pragmatic justification: it leads to the desired results, and to no others. But clearly it is not the sort of axiom with which we can rest content. On this subject, however, it cannot be said that a satisfactory solution is as yet obtainable. Dr Leon Chwistek took the heroic course of dispensing with the axiom without adopting any substitute; from his work, it is clear that this course compels us to sacrifice a great deal of ordinary mathematics. There is another course, recommended by Wittgenstein for philosophical reasons. This is to assume that functions of propositions are always truth-functions, and that a function can only occur in a proposition through its values. There are difficulties in the way of this view, but perhaps they are not insurmountable. It involves the consequence that all functions of functions are extensional. It requires us to maintain that ‘A believes p' is not a function of p. How this is possible is shown in Tractatus Logico-Philosophicus (loc. cit. and pages 19 - 21 ). We are not prepared to assert that this theory is certainly right, but it has seemed worth while to work out its consequences in the following pages. It appears that everything in Vol. I remains true (though often new proofs are required); the theory of inductive cardinals and ordinals survives; but it seems that the theory of infinite Dedekindian and well-ordered series largely collapses, so that irrationals, and real numbers generally, can no longer be adequately dealt with. Also Cantor's proof that 2n ＞ n breaks down unless n is finite. Perhaps some further axiom, less objectionable than the axiom of reducibility, might give these results, but we have not succeeded in finding such an axiom' (Introduction, page XIV).
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