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ラッセル『私の哲学の発展』(松下彰良・対訳)

My Philosophical Development, 1959

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第10章 「ヴィトゲンシュタインの衝撃」 n.20

 『プリンキピア・マテマティカ(数学原理)』の第二版が出て間もなく、還元公理(還元可能性の公理)の問題はラムジ一(Ramsey, Frank Plumpton, 1903-1930:ケンブリッジ大卒の数学者、哲学者)によって、二つの重要な論文 −(即ち)「数学の基礎」(1925年)と「数理論理学(数学的論理学)」(1926年)とにおいて、とりあげられた(taken up by)。不幸にもラムジーーは若くしてなくなったことにより、彼の見解は十分かつ完全に展開されるにいたらなかったが、彼が成し遂げたことは非常に重要であり、最大限の真摯な考察に値する。彼の主張(main thesis 主なテーゼ)は、数学は全く(純粋に)外延的なものに帰せられるべきであるということと、『プリンキピア・マテマティカ』の種々の難しい問題は、内包的見地が不当に入り込んだために(an illegitimate intrusion)生じたのだということ、であった。ホワイトヘッドと私は、集合は命題関数によってのみ定義され、このことは(単純)枚挙によって定義されると思われるような集合についても言える、という考えを抱いていた(had held that)。たとえば,三つの個物(individuals) a, b, c から成る集合は、「x = a あるいは x = b あるいは x = c である」という命題関数によって定義される。同一性に対するウィトゲンシュタインの反対ラムジーは同一性を受けいれた)はこの方法(注:集合を命題関数によって定義する方法)を不可能にしたが、他方、ラムジー無限集合を枚挙によって定義することには論理的にはまったく反対する理由はないと考えた。我々(ホワイトヘッドとラッセル、あるいは人間一般)は死すべき者なので、単純枚挙によっては無限集合を定義できないが、我々が死すべき者であることは経験的事実であり、論理学者が無視すべきものである(とラムジーは考えた。/注:論理学は永遠の真理を取り扱うもの)。このこのとを根拠に、ラムジーは、「乗法公理」はトートロジー(同語反復=恒真命題)であると考えた。たとえば、無限の数の靴下(のペア)を持っていた億万長者の例にもどると、ラムジーは、ペアの靴下のひとつの靴下(=片足分)を選び出すのに規則は必要でないと主張した。論理(学)に関する限り、無限数の(任意の)恣意的な選択も、有限数のそれと同じく、許容すべきものである、と彼は考えた(のである)。

Chapter 10 The Impact of Wittgenstein, n.20


Shortly after the second edition of the Principia was published, the problem of the axiom of reducibility was taken up by F. P. Ramsey in two very important papers: The Foundations of Mathematics, published in 1925 , and Mathematical Logic, published in 1926 . Ramsey's early death, unfortunately, prevented a full and complete development of his views, but what he had achieved was very important and deserves most serious consideration. His main thesis was that mathematics must be rendered purely extensional and that the troubles of the Principia arose from an illegitimate intrusion of an intensional point of view. Whitehead and I had held that a class can only be defined by means of a propositional function and that this applies even to classes that seem to be defined by enumeration. For example, the class consisting of the three individuals a, b, and c is defined by the propositional function 'x = a or x = b or x = c'. Wittgenstein's rejection of identity (which Ramsey accepted) made this method impossible, but, on the other hand, Ramsey considered that there is no logical objection to the definition of an infinite class by enumeration. We cannot define an infinite class in this way because we are mortal, but our mortality is an empirical fact which logicians should ignore. On this ground, he held, the multiplicative axiom is a tautology. To revert, for example, to the millionaire who had an infinite number of pairs of socks, Ramsey held that it was not necessary to have a rule by which to pick one sock out of each pair. He thought that so far as logic is concerned an infinite number of arbitrary choices is just as allowable as a finite number.
(掲載日:2020.02.04/更新日: )