第10章 「ヴィトゲンシュタインの衝撃」 n.18 - 還元公理について
『プリンキピア・マテマティカ（数学原理』の初版において、我々（ラッセルとホワイトヘッド）は、この公理（還元公理）を受け入れる理由を次のように述べている。「『還元公理』は自明であるということは、ほとんど主張できない命題である。しかし、実際には(in fact)、自明性というのはある公理を認める理由の一部分にすぎないのであり（← 一部以上のものでは決してないのであり）、決して不可欠なものではない。ある公理を受容する理由は、他の任意の（いかなる）命題を認める理由と同じく、常に主に帰納的なもの（理由）である。即ち、ほとんど疑うことができない多くの命題は還元公理から演繹されうるということ、還元公理が偽であるとしても、それらの命題を真だとすることができるところの、等しくもっともらしい他の方法が知られていないこと、また、さらに多分偽だと思われるようなものは何もその公理から演繹することはできないこと、である。たとえ還元公理が外見上自明であるとしても（If = even if）、それは、実際上、還元公理がほとんど疑いえないということを意味しているにすぎない。というのは、（多くの）物事はこれまで自明だと考えられてきており（きているが）、それらはいまだ（yet）偽であると判明してないのである。（訳注：for things have been thought to be self-evident and have yet turned out to be false.「yet」は否定文や疑問文だけでなく、肯定文の中で使われたとしても「未完の状態を表す」。みすず書房版の訳書で、野田氏は「なぜなら、過去に自明だと考えられたことで後に疑であることが判明したことが数々あるからである」と訳出している。「yet」をまったく無視している。） たとえ（if = evenif)還元公理自体がほとんど疑いえぬものであるとしても、それは還元公理の諸帰結がほとんど疑いえないという事実から得られる帰納的証拠を増やすだけである（だけにすぎない）。それは根本的にちがった種類の新たな証拠を与えるものではない。不可謬性は決して到達できるものではなく、従って、あらゆる公理とそのすべての帰結とにはいくらかの疑い（疑問点）が常に（当然）付着しているはずである。形式論理においては、疑わしい点は大多数の科学におけるよりも少ないが、全くないわけではない。それは、以前には制限を要するとは知られていなかった諸前提からいろいろな論理的矛盾（パラドクス）が出て来たという事実によって明らかである。還元公理の場合には、それを正しいと思わせる（in its favour 有利に働く）帰納的証拠は非常に有力である。なぜなら、還元公理が許容する推論や還元公理が導きだす結果は、全て妥当であると思われるようなものだからである。しかし、この公理が後に偽であると判明するようなことはあまりありそうもないと思われるけれども、還元公理が何か他のいっそう根本的かつ明白な公理から演繹可能であることが発見されることは決してありえないことではない。上述の型（タイプ）の階層組織に示されたような、「悪循環原理」（vicious circle principle ）の使用は必要以上の荒療治であって(more drastic than it need be)、そういう荒療治を少なくすれば、還元公理の必要性も避けられる可能性はあるであろう。けれども、たとえそういう変更がなされても、上にのべた諸原理にもとづいて主張された事柄が偽となるわけではないであろう。そういう変更は、同じ諸定理のより容易な証明を提供するにすぎないであろう。従って、還元公理の使用が我々を誤まりに導くかも知れないという恐れにはまことにわずかな根拠しかないように思われる。」（序論、第二章第七節）
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Chapter 10 The Impact of Wittgenstein, n.18
In the first edition of the Principia we set out the reasons for accepting the axiom as follows: ‘That the axiom of reducibility is self-evident is a proposition which can hardly be maintained. But in fact self-evidence is never more than a part of the reason for accepting an axiom, and is never indispensable. The reason for accepting an axiom, as for accepting any other proposition, is always largely inductive, namely that many propositions which are nearly indubitable can be deduced from it, and that no equally plausible way is known by which these propositions could be true if the axiom were false, and nothing which is probably false can be deduced from it. If the axiom is apparently self-evident, that only means, practically, that it is nearly indubitable; for things have been thought to be self-evident and have yet turned out to be false. And if the axiom itself is nearly indubitable, that merely adds to the inductive evidence derived from the fact that its consequences are nearly indubitable: it does not provide new evidence of a radically different kind. Infallibility is never attainable, and therefore some element of doubt should always attach to every axiom and to all its consequences. In formal logic, the element of doubt is less than in most sciences, but it is not absent, as appears from the fact that the paradoxes followed from premisses which were not previously known to require limitations. In the case of the axiom of reducibility, the inductive evidence in its favour is very strong, since the reasonings which it permits and the results to which it leads are all such as appear valid. But although it seems very improbable that the axiom should turn out to be false, it is by no means improbable that it should be found to be deducible from some other more fundamental and more evident axiom. It is possible that the use of the vicious-circle principle, as embodied in the above hierarchy of types, is more drastic than it need be, and that by a less drastic use the necessity for the axiom might be avoided. Such changes, however, would not render anything false which had been asserted on the basis of the principles explained above: they would merely provide easier proofs of the same theorems. There would seem, therefore, to be but the slenderest ground for fearing that the use of the axiom of reducibility may lead us into error' (Introduction, Chapter II, Section VII).
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