私がベアノから学んだ第二の重要な進歩は、一つの要素（member 成員）から成る集合（class）はその一つの要素（成員）と同一のものではない、ということであった。たとえば、「地球の衛星」は一つの集合であり、ただ一つの要素（成員）、即ち月を持つのみである(注：因みに木星は12個の衛星を持っているので、集合と一つの要素である一つの衛星とは等価でないことがわかりやすい)。しかし一つの集合をそれの唯一の要素と同一視することは、集合の論理学に、従って、数の論理学に　－－というのは数が適用されるのは集合だからである－－ 全く解決不可能な問題を導き入れる。「地球の衛星」と「月」とを同一視することが不適切であることは、一度指摘されれば容易に理解される。「地球の衛星」という句は、たとえ第二の衛星が発見されても（if = even if）、その意味を変ずることはないであろう。それはまた、天文学を理解するが地球が衛星を持つことを知らない（知らなかった）ような人にとっても、無意味ではないであろう（注：destitute of meaning 意味を欠くようなことはないであろう）。これに反して、月についての陳述は、－「月」（The Moon）という語を固有名(a name)ととってよいのなら、月を承知している者以外の人々にとっては、無意味である（注：「衛星」と言えばわかるが、◯×△（例：ヘベレケポンポン）と知らない言葉を言われても何を言っているかわからない）。そういう人々にとっては、「月（The Moon）」という語は、それが「地球の唯一の衛星」という句と同等である（相当する）という説明が与えられなければ、無意味な雑音であろう。そうして（しかも）,たとえ「月」という語の代りに「地球の唯一の衛星」という句が代用されるとしても（置き換えられたとしても）、月についての陳述は、「今夜は月が明るい」と我々が言う時に、その月についての陳述が私やあなたに対して持つような意味を、持たないであろう（注：if = even if／つまり、月」という固有名と、「地球の唯一の衛星」という記述＝説明とは同じではない、とラッセルは言っている。／因みに、みすず書房版の訳では、野田氏は、「if = even if」としてとらずに、「もし～ならば～だろう」と訳されているのでピンとこない訳となっている）。「月」の代りに月についての「記述」を代用する人（置き換える人）は、概念と繋がっている領域にいるのであって、「月が明るい」という人のように、感覚の世界との直接な接触をしていない（注：前者は記述によって得ている知識であり、後者は直接知に該当する／ラッセルの哲学において重要な、記述知と直接知の区別の重要性／他の例で言うと、記述的に「現在の日本の総理」という場合と、安倍総理を目の前にして「安倍晋三」という場合の違いに相当）。この点において、我々が今関心を持っている（関わっている）区別は、「ソクラテスは死ぬものである」と「全てのギリシャ人は死ぬものである」という，先に述べた区別と、一定の類似性を持っている。本書の読者は、上記の（このような）区別は学者のもったいぶった言い方（衒学）にすぎないと考えたくなるかも知れない（may be disposed to think）。私は今やこの区別はそういった学者の衒学的な言い回しではない理由を説明することに努めなければならない。

Chapter 6: Logical Technique in Mathematics, n.4
The second important advance that I learnt from Peano was that a class consisting of one member is not identical with that one member. ‘Satellite of the Earth’, for instance, is a class and it has only one member, namely, the Moon. But to identify a class with its only member is to introduce utterly insoluble problems into the logic of collections and, therefore, of numbers, since it is to collections that numbers apply. The impropriety of identifying ‘Satellite of the Earth’ with the Moon is easily seen when it has once been pointed out. The phrase, ‘Satellite of the Earth’, would not alter its meaning if a second satellite were discovered; nor would it be destitute of meaning for a person who understood astronomy but did not know that the Earth had a satellite. Statements about the Moon, on the other hand, if we may take ‘The Moon’ as a name, are meaningless except to those who are aware of the Moon. To others, ‘The Moon’ would be a meaningless noise unless it were explained to be equivalent to the phrase ‘The only satellite of the Earth’; and if this explanation were substituted, statements about the Moon would not have the meaning that they have for you and me when we say, ‘The Moon is bright tonight’. The man who substitutes a description is in the region of a connection of concepts, not in direct contact with the world of sense as is the man who says, ‘The Moon is bright’. In this respect, the distinction with which we are now concerned has a certain analogy with our previous distinction between ‘Socrates is mortal’ and ‘All Greeks are mortal’. The reader may be disposed to think that the above distinctions are mere scholastic pedantry. I must now try to explain why this is not the case.
　Source: My Philosophical Development, chap. 6：1959． 　
　More info.:https://russell-j.com/beginner/BR_MPD_06-040.HTM

　私がペアノから引き出した悟り（enlightenment 啓発/開明）は、主として二つの全く技術的な進歩から発したものであるが，私がそうであったように，算術を理解しようとして長年を過ごした後でなければ、その（技術的進歩の）重要性を認めること（appreciate 真価を認めること）は非常に困難である。この二つの進歩は、ペアノよりも前に既に G. フレーゲによって果されていたが、ペアノが当時そのことを知っていたかどうかは疑わしいし、私は少し後までその事実を知らなかった。難しい仕事であるが、私、それらの進歩が何であったか、また、なぜそれらは重要であったかについて、最善をつくして説明しなければならない。まずそれら（の進歩）が何であったか、ということから始めよう。 　最初の進歩は、「ソクラテスは死ぬものである（死ぬ運命である／不死ではない）」という形の命題を「全てのギリシャ人は死ぬものである」（注：全称命題）という形の命題から分離することで（その進歩は）成り立っていた。アリストテレスにおいては、また三段論法(注：syllogism 大前提→小前提→結論)に関する公認の学説（それをカントは永久に改善の余地はないと考えた）　においては、この二つの命題形式は区別できないものとして、あるいは,ともかくも（at any rate いずれにせよ），重要な差異がないものとしてとり扱われている。しかし、事実（実際）、論理学も数学も、この（命題の）二つの形式は全く異なったものであると理解されるまでは（理解されない限り）、遠くまで進めない（進歩できない）のである。「ソクラテスは死ぬものである」は一つの述語（注：死ぬものである）を、名付けられた（固有名をもつ）一つの主語（ソクラテス）に帰属させる。(他方)「全てのギリシャ人は死ぬものである」は、二つの述語すなわち「ギリシャ人」と「死ぬもの」との関係を言いあらわしている。（つまり）「全てのギリシャ人は死ぬものである」を、完全な形で言いあらわすと、「ｘ のあらゆる可能な値について、もし x がギリシャ人であるならば、x 死ぬものである」となる（注：従って「ギリシア人」は主語ではない！）。ここには、主語-述語命題ではなく、二つの命題関数（函数）の結合があるのであり、これら命題関数の各々は、変項 x に一つの値が与えられると（assigned to 指定されると/割り当てられると）一つの主語-述語命題となるのである。（即ち）「全てのギリシャ人は死ぬものである」という陳述（文）は、特にギリシャ人（全体）について何ごとかを言っているのでなく、宇宙の全てのものについての一つの陳述なのである。（注：x は宇宙全体を対象にしている。）「もし x がギリシャ人であるならば、x は死ぬものである」という陳述は、x がギリシャ人でない場合も、x がギリシャ人である場合と全く同様に、真である。実際、ギリシャ人というものがまったく存在しなくとも真である。たとえば、リリパット国人（Lilliputians）は存在しないが、「全てのリリパット国人は死ぬものである」という命題は真である（注：偽であることを証明するためには、リリパット人で死んだ例を１つでよいので、例を示さなければならない）。「全てのギリシャ人は死ぬものである」という陳述（文）は、「ソクラテスは死ぬものである」という陳述（文）とは異なり、いかなるものにも固有名を与えておらず（名付けておらず）、単に、二つの述語の結合を言いあらわしている（表現している）だけである。この命題は、枚挙（enumeration 単純枚挙/列挙）によっては証明できない。なぜなら（to repeat 繰り返しになるが）問題になっている x は、ギリシャ人であるところの x に限定されず、広く全宇宙のものを指しているからである。しかし、それは（単純）枚挙によって証明されないにせよ、やはり知られうるものである。私は翼がある馬が存在するかどうかを知らず、まったくそんなものに出会ったことはないが、それにもかかわらず、私は全ての翼のある馬が馬であることを知ることができる。要するに（in short）、「全ての」という語を含むあらゆる陳述は、命題関数を含むものであるが、それらの命題関数の任意の（何らかの）個別的な値を含むものではないのである。

Chapter 6: Logical Technique in Mathematics, n.3
The enlightenment that I derived from Peano came mainly from two purely technical advances of which it is very difficult to appreciate the importance unless one has (as I had) spent years in trying to understand arithmetic. Both these advances had been made at an earlier date by Frege, but I doubt whether Peano knew this, and I did not know it until somewhat later. Although it is difficult, I must do my best to explain what these advances were and why they were important. I will begin with what they were. The first advance consisted in separating propositions of the form ‘Socrates is mortal’ from propositions of the form ‘All Greeks are mortal’. In Aristotle and in the accepted doctrine of the syllogism (which Kant thought forever incapable of improvement), these two forms of proposition are treated as indistinguishable or, at any rate, as not differing in any important way. But, in fact, neither logic nor arithmetic can get far until the two forms have been seen to be completely different. ‘Socrates is mortal’ attributes a predicate to a subject which is named. ‘All Greeks are mortal’ expresses a relation of two predicates – viz. ‘Greek’ and ‘mortal’. The full statement of ‘All Greeks are mortal’ is ‘For all possible values of x, if x is Greek, x is mortal’. We have here, instead of a subject-predicate proposition, a connection of two propositional functions, each of which becomes a subject-predicate proposition when a value is assigned to the variable x. The statement, ‘All Greeks are mortal’, says nothing about Greeks in particular, but is a statement about everything in the universe. The statement ‘if x is Greek, x is mortal’ is just as true when x is not Greek as when x is Greek. Indeed, it is true if there are no Greeks at all. “All Lilliputians are mortal’ is true, although there are no Lilliputians. The statement, ‘All Greeks are mortal’, unlike the statement, ‘Socrates is mortal’, names no one and expresses only and solely a connection of predicates. It cannot be proved by enumeration, since (to repeat) the x in question is not confined to the x’s that are Greeks, but extends over the whole universe. But, although it cannot be proved by enumeration, it can nevertheless be known. I do not know whether there are any winged horses, and certainly I have never come across one, but nevertheless I can know that all winged horses are horses. In short, every statement containing the word all involves propositional functions, but does not involve any particular value of these functions.
　Source: My Philosophical Development, chap. 6：1959． 　
　More info.:https://russell-j.com/beginner/BR_MPD_06-030.HTM