乗法（掛け算）のこの定義を採用した後,我々（注：ラッセルとホワイトヘッド）は予想外の困難に直面した。(即ち)集合の数が無限である場合、（各集合の中から）任意の選択が可能であることは確信できない。関係している（当該）集合の数が有限であれば、総選挙の場合に行われるように、各集合（注：各選挙区）から代表（者）を任意にとりだすことが可能である。しかし集合の数が無限の場合、我々の恣意的行為（arbitrary acts きままな行為）を無限回行うことはできないので、、望む結果を確保する何らかの内包(的規定)(intention 内包)がなくては、選択が可能かどうか確信できない。ひとつ例をあげてみよう。昔々、一人の百万長者がいて、無限の数の靴（注：右足用と左足用で一足＝一組）を買い、一足の靴を買うと必ずまた一足の靴下を買いました（とします）。この時、靴の各ペア（一足）からひとつを選択することが可能である。というのは、常に右足の靴を選ぶかあるいは左足を選ぶことができるからである。このようにして、靴に関する限り、選択は存在する（選択可能である）。けれども靴下については、左と右の区別がないので、この選択の規則を用いることはできない。靴下の選択ができるためには、何らかのずっと手のこんだ方法（elaborate method）を採らなければならないであろう。たとえば、靴下の各対（ペア/各１組）についてその一方が他の一方よりも近い位置にあるようなひとつの点（注：空間のなかの特定の位置）を見つける（定める）ことができるであろう。そうすれば各対（ペア）の中から、その点により近い方を選ぶことにより、一つの選択を得る（行う）であろう。私は昔、この問題（パズル）を、トリニティ学寮の食堂のハイ・テーブル（注：偉い人たちが座るテーブル）で、たまたま私の隣に坐ったあるドイツ人数学者に出した。しかし彼は「なぜ大金持なのか（大金持ちでなければならない理由は？）」とだけ言った。
Chapter 8 Principia Mathematica: Mathematical Aspects, n.10 After we had adopted this definition of multiplication, we were faced by an unexpected difficulty. It appeared that, when the number of classes is infinite, one cannot be sure that any selections are possible. When the number of classes concerned is finite, we can pick out a representative arbitrarily from each of them, as is done in a General Election; but, when the number of classes concerned is infinite, we cannot make an infinite number of arbitrary acts of choice, and we cannot be sure that a selection is possible unless there is some intension which secures the desired result. I will give an illustration: there was once a millionaire who bought an infinite number of pairs of shoes and, whenever he bought a pair of shoes, he also bought a pair of socks. We can make a selection choosing one out of each pair of shoes, because we can choose always the right shoe or always the left shoe. Thus, so far as the shoes are concerned, selections exist. But, as regards the socks, where there is no distinction of right and left, we cannot use this rule of selection. If we are to be able to make a selection out of the socks, we shall have to adopt some much more elaborate method. We could, for example, find a point such that, in each pair of socks, one of the pair is nearer to this point than to the other. We should then obtain a selection by choosing from each pair the one nearer the point in question. I once put this puzzle to a German mathematician to whom I happened to sit next at the High Table at Trinity, but his only comment was: ‘Why a millionaire?’
　Source: My Philosophical Development, chap. 8：1959． 　
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　乗算（注：multiplication 乗法、掛け算）を因数が無限数（になる）まで拡張することは、いわゆる「選択」（selectionsn）によって達成される（is effected 成り立つ）。選択の概念は国会議員の選挙の例によって最も容易に精通することが可能である（be made familiar by　～によって精通する）。当該国で、選挙で選ばれた国会議員（代議士）は誰もがその国会議員の選挙区の一員でなければならないと仮定すると、それら全体の議会（国会）は、選挙区からの一つの「選択」と言われるものを形成する。一般的な概念は,以下の通りである。即ち、空集合でない集合の集合が与えられた場合、ひとつの選択とは、各集合から一つの要素を、その集合の「代表」としてとり出すところの関係である。この選択がなされうる仕方の数 －ただし、どの二つの集合をとっても共通な要素（メンバー）が存在しないと仮定してー は、そのいくつかの（注：the several ５つの集合を扱っているならその５つの、６つの集合を今あつかっているならその６つの）集合の数の積(注：the product 掛け算の結果＝積)である。たとえば、（今）３つの集合があり、第一の集合は x1, x2, x3 から成り、第二の集合は z1, z2, z3 から成り、第三はz1, z2, z3 から成るとすると、一つの x 一つの y と一つの z を含む（＝でできあがる）任意の集合は、上の３つの集合からの一つの選択(結果)である。そしてこういう選択をする仕方は ２７(とおり) あることは誰でもたやすく確かめることができる。（訳注：各集合のメンバーは個性がないのでどれを選んでもよく、3 × 3 ×3 ＝ 27　となる）

Chapter 8 Principia Mathematica: Mathematical Aspects, n.9 The extension of multiplication to an infinite number of factors is effected by means of what are called ‘selections’. The notion of a selection can most readily be made familiar by the example of electing Members of Parliament. Assuming that, in the country concerned, every elected representative must be a member of his constituency, the total Parliament constitutes what is called a selection from the constituencies. The general conception is as follows: given a class of classes none of which is null, a selection is a relation which picks out one member of each class as the ‘representative’ of that class. The number of ways in which this can be done (provided no two classes have any common members) is the product of the numbers of the several classes. For example, suppose we have three classes, the first consisting of x1, x2, x3, the second of y1, y2, y3, third of z1, z2, z3, then any class containing one x, one y, and one z is a selection from the class of three classes, and any reader can easily satisfy himself there are twenty-seven ways of making this selection.
　Source: My Philosophical Development, chap. 8：1959． 　
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　私が若かった時、数学は数と量の学問、あるいは(alternatively 別の言い方では)数と計量の学問である、と言われた（教えられた）。しかしこの定義はあまりにも狭すぎる。第一に、伝統的な数学において扱われている多種多様の数は、数学的方法の適用しうる領域の小部分のみを占めており、算術の基礎を確立するために必要な推論の非常に多くは、数とは密接な関連を全く持っていない。第二に、算術とその基礎づけ（ its prolegomena 算術を基礎づける理論）を扱うとき、有限集合や有限数及び無限集合や無限数について等しく真なる命題が、単に有限な集合についてのみ証明されるということがないようにすることができる場合はいつでもそうすることを、我々（ラッセルとホワイトヘッド）心に留めておかなければならなかった（訳注：みすず書房版の野田訳では、「finite and of infinite classes or numbers」の「or」を無視したのか、「数の有限な集合についても無限の集合にも」と訳されている。数だけを扱っているのではない、とラッセルははっきり言っているのに・・・！）。もっと一般的に言えば、諸事例のなかのある特殊な集合において命題を証明することは －その命題をさらに一般的に証明することが可能な場合にはー 時間の浪費である,と我々は考えた。第三に、我々は、算術の伝統的な形式的諸法則を確立すること（訳注：算術を論理的に基礎付けること）を、我々が目指す目標の一部と考えた。即ち、以下の通り。 「結合法則」 　(a + b) + c = a + (b + c) 「交換法則（可換法則）」 　(a + b) = (b + a) （乗法についての同様な法則も加える)(訳注：ａ x b = b x a) 「分配法則」 　a x (b + c) = (a x b) + (a x c) 　数学の初学者は、常に、これらの法則を証明を与えられずに教えられるか、あるいは、もし証明が与えられる場合でも（if = even if）、その証明は数学的帰納法を用いており、従って、有限数についてのみ妥当である（数が有限の場合のみ妥当）。加法（足し算）や乗法（掛け算）の通常の定義は、加えられる項（sumands）の数や、掛け合わされる項（factors 因数）の数が、有限であることを前提している。これは、我々が除去しようとした制限のひとつ（among the limitations）である。

Chapter 8 Principia Mathematica: Mathematical Aspects, n.8 When I was young, I was told that mathematics is the science of number and quantity, or, alternatively, of number and measure. This definition is far too narrow. First: the many different kinds of number that are dealt with in conventional mathematics make only a small part of the region to which mathematical methods are applicable, and a great deal of the reasoning required for establishing the foundations of arithmetic has no very close connection with number. Second: in dealing with arithmetic and its prolegomena we had to bear in mind that wherever possible propositions which are true equally of finite and of infinite classes or numbers should not be proved only for the former. More generally, we considered it a waste of time to prove propositions in some particular class of cases when they can just as well be proved much more generally. Third: we considered it as part of the goal at which we were aiming to establish the traditional formal laws of arithmetic, i.e.: the associative law, (a + b) + c = a + (b + c) the commutative law, a + b = b + a with analogous laws for multiplication and the distributive law a x (b + c) = (a x b) + (a x c) Beginners in mathematics are always informed of these laws without being given proofs of them, or, if proofs are offered, they use mathematical induction and are therefore only valid for finite numbers. The ordinary definitions of addition and multiplication assume that the number of sumands or factors is finite. This is among the limitations which we set ourselves to remove. 　
　Source: My Philosophical Development, chap. 8：1959． 　
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　関係の第３の重要な型は系列（注：series 数学においては「数列」）を生じさせる関係である。「系列」という語は古く(からあって)よく知られているが、それに正確な意味を与えたのは私が初めてであると思う。（一つの）系列とは、次の３つの性質をもつ関係から生ずる順序を備えた（諸）項の集まり（集合）である。すなわち、 (a) それは非対称的（asymmetrical）でなければならない－言いかえると、x が y に対してその関係をもつとき、y は x に対してその関係をもたない。 (b) それは移行的（transitive 推移的）でなければならない、言いかえると、もし x が y にその関係をもち、yはzにその関係をもつなら、xはz に対してその関係をもたなければならない。 (c) それは連関的（connected）でなければならない、言いかえると、x と y がその関係の範囲において任意の二つの異なる項であるとすると、x が y に対してその関係をもつか,あるいは y がx に対してその関係をもつか（のいづれか）でなくてはならない。一つの関係がこれら３つの特性をもつならば、その関係は、その関係の範囲にある諸項を一つの系列（注：数学の場合は「数列」）に配列する（ことになる）。 　これらの全ての特性は人間関係によって容易に例示できる。たとえば（Thus 文語的）「夫（である）」という関係は非対称的である（訳注：上記の１番めの特性）。なぜならＡがＢの夫であれば、ＢはＡの夫ではないからである。これに反して、「配偶者（である）」(spouse)という関係は対称的である。「祖先」という関係は移行的（推移的）である（訳注：上記の２番めの特性）。なぜならＡの祖先の祖先はＡの祖先であるから。しかし「父」という関係は非移行的である。「祖先」という関係は系列関係に必要な３つの特性のうち２つを持っているが、第３の連関的であるという特性をもっていない。なぜなら任意の二人の人間をとったとき必ず一方が他方の祖先であるとは言えないからである（訳注：たとえば、二人は同じ祖先を持つ兄弟かも知れない。他方、たとえば、常に息子が父の後を継ぐある王家の王位継承を考えると、この王家の系譜に範囲を限った場合の祖先関係は連関的であり、従って、この王家の王達はびとつの系列を形成する（ことになる）。 　上記の３つの種類の関係は、論理学と通常の数学との中間領域（transitional region 遷移領域）において最も重要な関係である。

Chapter 8 Principia Mathematica: Mathematical Aspects, n.7 The third important type of relation is that which gives rise to series. The word ‘series’ is old and familiar, but I think I was the first person to give it an exact meaning. A series is a set of terms having an order derived from a relation having three properties: (a) it must be asymmetrical – that is to say, if x has the relation to y, then y does not have it to x; (b) it must be transitive – that is to say, if x has the relation to y and y has it to z, then x has it to z ; (c) it must be connected – that is to say, if x and y are any two different terms in its field, then either x has the relation to y or y has it to x. If a relation has these three properties, it arranges the terms of its field in a series. All these properties are easily illustrated by human relationships. Thus the relation husband is asymmetrical, because if A is the husband of B, B is not the husband of A. Spouse, on the contrary, is symmetrical. Ancestor is transitive, because an ancestor of an ancestor of A is an ancestor of A; but father is intransitive. Ancestor has two of the three properties required of a serial relation, but not the third, that of being connected, because it is not the case that of any two different people, one must be an ancestor of the other. On the other hand, if one considers, for example, succession in a royal family in which sons always succeed to fathers, the relation ancestor confined to this royal line is connected, and therefore the kings concerned form a series. Relations of the above three kinds are those that are of most importance in the transitional region between logic and ordinary mathematics.
　Source: My Philosophical Development, chap. 8：1959． 　
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　非常に重要な関係の２番めの種類は、二つの集合の間に相関を確立する(対応付ける)もの（種類）である。これは、私が「一対一と名づける種類（の関係）である（一対一の関係）。これは、与えられたy に対して関係Ｒをもつ x が最大一つのみ存在するだけでなく、与えられた xに対して関係Ｒをもつ y が最大一つだけ存在する種類の関係である。その一例は、一夫多妻（polygamy 複婚）が禁ぜられているところでの結婚（注：一夫一婦制の場合の夫と妻の対応関係）である。二つの集合の間にそういう相関が存在するとき、その二つの集合は同数の項（メンバー）をもつ、たとえば、妻の数は夫の数と同じであり、人々の鼻の数は人々の数と同じであることを、我々は（全てを）列挙することなく（without enumeration）知っている。また、非常に重要な特殊な形式の対応（相関）がある。（即ち）二つの集合がそれぞれ二つの関係Ｐ及び関係Ｑの範囲(fields)として与えられ、これら二つの関係の間には、二つの項がＰという関係をもつときは常に、それら項の対応項(their correlates)はＱという関係をもち、逆もまた真である（and vice versa）ような相関関係がある場合である。たとえば、既婚の役人の間の席次の先後関係/優先関係（precedence 優先）と彼らの妻たちの間のそれ（優先関係）を考えてみよう。妻が貴族と血縁関係があるか（are related to the peerage ）役人が教会監督であるかする場合をのぞけば、妻たちの間の席次の先後関係は夫たちの間のそれと同じである（訳注：貴族の場合は、夫の貴族の順位が妻の順位に反映されるということ。伯爵の妻は、子爵の妻よりも席次が上となる.。ただし、妻が公爵の娘の場合は席次に変更が伴う）。そういった相関関係（対応関係）は「順関係子（順位をもった相関関係）」（ordinal correlator）と呼ばれる。なぜなら、Ｐの範囲にある要素（メンバー）の間にある順序が、そのままＱの範囲にある対応項の順序として保持されるからである。

Chapter 8 Principia Mathematica: Mathematical Aspects, n.6
A second sort of relation which is very important is the sort which establishes a correlation between two classes. This is the sort of relation which I call ‘one-one’. This is the sort of relation where not only is there at most one x having the relation R to a given y, but also there is at most one y to which a given x has the relation R. An example is: marriage where polygamy is forbidden. Where such a correlation exists between two classes, they have the same number of terms. For example: we know without enumeration that the number of wives is the same as the number of husbands, and the number of men’s noses is the same as the number of men. There is a special form of correlation which is also of very great importance. This arises when two classes are given as the fields of two relations P and Q and there is a correlation between them such that, whenever two terms have the relation P, their correlates have the relation Q, and vice versa. Take, for example, precedence among married officials and precedence among their wives. Unless the wives are related to the peerage or the officials are bishops, the order of precedence among wives is the same as among husbands. Such a correlator is called an ‘ordinal correlator, because whatever order there may be among the members of the field of P is preserved among their correlates in the field of Q.
　Source: My Philosophical Development, chap. 8：1959． 　
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　関係の種類が異なればそれらの用途も異なる。私が「記述関数」（descriptive functions 記述的関数）と呼んでいるものを生み出すような種類の関係からまず始めてよいであろう。これは、与えられた項に対して、多くともただ一つの項のみが持つことができる（ような）種類の関係である。この関係は、単数の定冠詞 the といぅ語を用いる句を生じる（生む）。たとえば「xの父」（the father of x」「xの二倍」（the double of x)、「xの正弦（サイン）」（the sine of x、及び、数学に普通に出てく関数の全て、である。このような関数は、私が「一対多」（one^many）と呼ぶ種類の関係によってのみ生み出すことができる。つまり、「一対多」の関係とは、任意の他の項に対して、２つ以上（not more than one）の項が持つことができないような関係である（注：多くても一つの項のみが持つことがでる関係）。たとえば、キリスト教国について語る場合、我々は「xの妻」（the wife of x)という句を用いることができる。しかし、この句は一夫多妻制（polygamy ）が存在する国では、あいまいになる（注：複数の妻がいれば、誰をさしているか確定しない。「the」がついていることに注意）。数学では「xの平方」（the square of x)といってよいが、「xの平方根」（the square-root of x）と（the をつけて）単数形で言うわけにいかない。xは二つの平方根を持つからである。先に挙げた項目において「領域（domain）」「逆領域 converse domain」「範囲 field」は全て、記述関数生む（生じる）。
Chapter 8 Principia Mathematica: Mathematical Aspects, n.5 Different sorts of relations have different sorts of uses. We may begin with the sort of relation that gives rise to what I call ‘descriptive functions’. This is the sort of relation which only one term at most can have to a given term. It gives rise to phrases using the word ‘the’ in the singular, such as, ‘the father of x’, ‘the double of x,’the sine of x and all the usual functions of mathematics. Such functions can only be generated by the sort of relation which I call ‘one-many’ – i.e. the sort of relation which not more than one term can have to any other. For example, if you are speaking of a Christian country, you can speak of ‘the wife of x, but this phrase becomes ambiguous if applied to a country where polygamy exists. In mathematics you may speak of ‘the square of x’, but not of ‘the square-root of x’, as x has two square-roots. In the above list ‘domain’, ‘converse domain’, and ‘field’ all give rise to descriptive functions.
　Source: My Philosophical Development, chap. 8：1959． 　
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　これら全ては、我々（ラッセルとホワイトヘッド）が『プリンキピア・マテマテカ』において展開した関係の算法(the calculus of relations)の哲学的背景であった。我々は,数学的論理学者(数理論理学者)が以前にははっきりとりあげなかった（make prominent）さまざまな概念を記号化するにいたった（was led to ～するように導かれた）。それらの中で、最も重要なものは以下のものである。（即ち） (1)与えられた項 y に対して関係Ｒをもつ項の集合、(2)与えられた項xが関係Ｒを持つ項の集合、(3)一つの関係の「領域」（domain)、即ち、何らかの項に対し関係Ｒを有する項の全ての集合で成り立っている「領域」、(4)Ｒの「逆領域」、即ち、なんらかの項が関係Ｒを有しているそれらの全ての項の集合（であるところの領域）、(5)Ｒの「範囲」（field）、即ち、領域と逆領域を両方あわせたもの、(6)関係Ｒの逆（関係）、即ち。Ｒがxとyの間に成り立つ時（hold 維持される）、yとxの間に成り立つ関係、(7)二つの関係ＲとＳとの関係積（relative product）即ち、xとzとの間に中間項yがあり、xはyに対して関係Ｒをもち、yはzに対して関係Ｓをもつとき、xとzとの間に成り立つ関係、(8)複数(plurals)、これは次のように定義される。即ち、何らかの集合 a が与えられる時、a のいずれかの要素（メンバー）に対して関係Ｒを持つ全ての項の集合を我々が形成する（時に）与えられる(できあがる）何らかの集合 a。 これらの多様な概念を人間関係を考察することによって例示することが可能である。たとえば，Ｒが親と子との関係であるとしよう。すると（その時は）、(1)はyの両親である。(2)は子供たち（の集合）であり、(3)は子供を持つ全ての人々の集合であり、(4)は親をもつ全ての人々の集合、即ち、アダムとイブを除いた全ての人間である（訳注：聖書では、アダムは創造主が創ったもの、イブはアダムの肋骨から神が創造した女性。従って彼らは人間の両親をもっていない／ラッセルの冗談です）。(5)の親という関係の「範囲」は、誰かの親であるか誰かの子であるところの全ての人々からなっている（訳注：「親の範囲ではなく、親という関係の範囲であることに注意。親の範囲であれば集合の要素は親だけになる）。(6)「～の親」という関係の「逆」は「～の子」という関係である。(7)「祖父母」とは親と親との関係積（注：親の親）であり、「兄弟あるいは姉妹」とは「子」と「親」との関係積であり、「いとこあるいは兄弟あるいは姉妹」とは孫と祖父母との関係積であり、以下同様である。（(8)「イートン校の生徒たちの親たち」は、この意味での「複数（形）」である。

Chapter 8 Principia Mathematica: Mathematical Aspects, n.4
All this was the philosophical background of the calculus of relations which we developed in the Principia. We were led to symbolize various concepts which mathematical logicians had not previously made prominent. Among these, the most important were: (1) the class of terms having relations R to a given term y ; (2) the class of terms to which a given term x has the relation R; (3) the ‘domain’ of a relation, which consists of the class of all those terms that have the relation R to something or other; (4) the ‘converse domain’ of R, which is the class of all those terms to which something or other has the relation R; (5) the ‘field’ of R, which consists of the ‘domain’ together with the ‘converse domain’; (6) the ‘converse’ of a relation R, which is the relation that holds between y and x whenever R holds between x and y ; (7) the ‘relative product’ of two relations R and S, which holds between x and z when there is an intermediate term y such that x has the relation R to y and y has the relation S to z; (8) plurals, defined as follows; given some class a we form the class of all the terms that have the relation R to some member of a. We can illustrate these various concepts by considering human relationships. Suppose, for example, that R is the relation of parent and child. Then (1) is the parents of y; (2) is the children of x-; (3) is the class of all those people who have children; (4) is the class of all those people who have parents – i.e. everybody except Adam and Eve; (5) the field of the relation ‘parent’ will consist of everybody who is either somebody’s parent or somebody’s child; (6) the converse of the relation ‘parent of’ is the relation ‘child of’; (7) ‘grandparent’ is the relative product of parent and parent, ‘brother or sister’ is the relative product of ‘child’ and ‘parent’, ‘first-cousin or brother or sister’ is the relative product of grandchild and grandparent, and so on; (8) ‘parents of Etonians’ is a plural in this sense.
　Source: My Philosophical Development, chap. 8：1959． 　
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　当時私は、関係（というもの）をほとんど全く内包（注：intensiions ある概念が適用される範囲すなわち外延に属する全てのものに共通な属性）として考えていた。私は「x は y に先行する（先立つ）」とか、「x はy より大きい」とか、「x は y の北にある」というような文章を考えていた。形式的な算法の見地からは、関係を順序づけられた対の組と見なすことはできるけれども、その組に統一を与えるものは内包のみである、と私には思われた。これは今でもそう思っている。同じことがもちろん集合についてもあてはまる。ひとつの集合に統一を与えるものは、その要素（メンバー/成員）に共通かつそれらに特有な内包のみである。このことは、要素を枚挙できない集合をとり扱う場合には常に明らかである。無限集合の場合には枚挙すること（注：一つ一つ全て数え上げること）が不可能であることは明らかである。しかし，大部分の有限集合についても同様である（等しく真である）。たとえば、「はさみむし」（earwig）（注：「耳の虫」の意で、眠っている人間の耳に潜り込み中に食い入るという伝承による）の集合の全ての要素を誰が枚挙できるであろうか？（できやしない）。（しかし）それにもかかわらず、我々は「全てのハサミムシ」について（それが真であれ偽であれ）陳述をすることができるし、それは、その集合（ここではハサミムシの集合）を定義する内包によって（in virtue of ～によって）やっているのである。全く同じような考察が関係の場合にもあてはまる（適用できる）。我々は、xがyに先立つような x, y の対の全てを枚挙することはできないが、「（先立つ（先行する）」という語（の意味するところ）を理解しているので、時間における順序について多くのことを言うことができる。けれども関係を対の集合と見る見解に反対する論拠がさらにある。（即ち）そういった対は順序づけられた（順番を有する）対でなければならない－即ち、x. y という対を、y, x （という順序を持つ）対から区別できなければならない（という論拠である）。この区別は、内包における何らかの関係による以外、行うことはできない（訳注：「x,y 」も 「y, x」も、外延（＝範囲）は同じなので、内包でしか両者は区別できない）。われわれが集合や述語だけを考えているかぎり、順序というものを解釈できず、順序づけられた対を、順序をもたぬ二つの要素から成る集合から区別できないのである。

Chapter 8 Principia Mathematica: Mathematical Aspects, n.3
I thought of relations, in those days, almost exclusively as intensions, I thought of sentences such as, ‘x precedes y, ‘x is greater than y’, ‘x is north of y’. It seemed to me – as, indeed, it still seems – that, although from the point of view of a formal calculus one can regard a relation as a set of ordered couples, it is the intension alone which gives unity to the set. The same thing applies, of course, also to classes. What gives unity to a class is solely the intension which is common and peculiar to its members. This is obvious whenever we are dealing with a class whose members we cannot enumerate. In the case of infinite classes, the impossibilities’ of enumeration is obvious; but it is equally true of most finite classes. Who, for example, can enumerate all the members of the class of earwigs. Nevertheless, we can make statements (true or false) about all earwigs, and we do this in virtue of the intension by which the class is defined. Exactly similar considerations apply in the case of relations. We can say many things about order in time because we understand the word ‘precede’, although we cannot enumerate all the couples x, y such that x precedes y. There is, however, a further argument against the view of relations as classes of couples: the couples have to be ordered couples, that is to say, we must be able to distinguish the couple x, y from the couple y, x. This cannot be done except by means of some relation in intension. So long as we confine ourselves to classes and predicates, it remains impossible to interpret order or to distinguish an ordered couple from a class of two terms without order.
　Source: My Philosophical Development, chap. 8：1959． 　
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　まず哲学にも数学にも同程度関係する一つの問題（matter 事柄）、即ち関係（relations）の重要性から始めよう。ライプニッツに関する私の著書（注：A Critical Exposition of the Philosophy of Leibniz, 1900）の中で、私は、実体とその属性とから成る事実及び主語と述語とからなる命題、に対して（as opposed to ～と対立するものとして）、関係的な事実と関係的な命題とが重要であることを強調した。私は、哲学においてと同様に数学においても、関係に対する偏見が、悪い結果を生んで来ていたことを発見した（のである）（訳注：みすず書房刊の訳書で、野田氏は「その後私は、・・・偏見が悪い結果を生んでいることを見出した」と訳出している。原文にない「その後」という言葉を補っているがこれは誤訳。ラッセルは、偏見が悪い結果を生んできたことを発見し、1900年に出版した『ライプニッツの哲学』で述べたわけであり、「その後（出版後）」に発見したわけではない。原文 I found that the prejudice against relations had had … にある,過去形（found)と過去完了形（had had）との違いを野田氏は無視している！）　G.ブール（注： George Boole, 1815- 1864：イギリスの数学者・哲学者。ブール代数で有名）の数学的論理学は、ライプニッツの失敗に終った(注：abortive 早産の/打ち切られた)企てと同様に、集合の包含関係(class-inclusion)に関係したものであり、三段論法（syllogism）の展開にすぎなかった。パース(注: Charles Sanders Peirce、1839-1914：アメリカの哲学者、論理学者、数学者、科学者で、プラグマティズムの創始者)は関係の論理学を展開したが、関係を対の集合(a class of couples)としてとり扱った。これは技術的に可能ではあるが、自然な形で人々の注意を重要な事柄に向けさせなかった。関係の論理学において重要な事（柄）は、集合の論理学とは異なっており、関係についての私の哲学上の見解は、後にきわめて有用であることが判明した事柄を、私が強調する手助けとなった。

Chapter 8 Principia Mathematica: Mathematical Aspects, n.2 I will begin with a matter which concerns philosophy and mathematics in equal measure, namely, the importance of relations. In my book on Leibniz I had emphasized the importance of relational facts and propositions as opposed to facts consisting of substance-and-attribute and propositions consisting of subject-and-predicate. I found that the prejudice against relations had had bad consequences in mathematics as well as in philosophy. Boole’s mathematical logic, like Leibniz’s abortive attempts, was concerned with class-inclusion and was merely a development of the syllogism. Pierce had developed a logic of relations, but had treated a relation as a class of couples. This is technically possible, but does not direct attention naturally toward what is important. What is important in the logic of relations is what is different from the logic of classes, and my philosophical opinion on relations helped to make me emphasize what turned out to be most useful. 　
　Source: My Philosophical Development, chap. 8：1959． 　
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　ホワイトヘッドも私も『プリンキピア・マテマティカ(数学原理)』がただ哲学的見地からのみ見られたことに失望した。人々は、論理的矛盾について言われたことや、通常の数学が完全に（purely 純粋に/混じりっけなしに）論理的前提から正しく演繹されているかどうかという問題に興味を持ったが、この著作の中で展開された数学的技巧には興味を持たなかった。私は、たった６人だけがこの本の後ろの方の部分を読んだことを知っていた。そのうち３人はポーランド人であったが後にヒトラーによって粛清されてしまった（と思う）。残りの３人は(米国の)テキサス人で、後に首尾よく徐々に理解した（訳注：successfully assimilated／同化された）。全く同一の主題（問題）を研究していた人々でさえ、それらの問題について『プリンキピア・マテマティカ（数学原理）』が述べているところを発見する(見つけ出す)価値があるとは考えなかった。二つの実例をあげよう。『数学年報』(Mathematishe Annalen)は,『プリンキピア・マテマティカ（数学原理）』の出版のおよそ十年後に、びとつの長い論文を載せたが、それは『プリンキピア・マテマティカ』の第四部で我々が明らかにした結果（これはその論文の筆者には知られていなかった）を述べたものであった。その論文は我々が避けえたある種の不正確さに陥っており、私達が発表しなかったもので妥当なものはまったく含んでいなかった（＝その論文の主張で正しいことは『プリンキピア・マテマティカ』に全て含まれていた）。明らかに筆者は、すでに他人に先んじられている（先行研究者によってすでに同じ結果を発見している）ことに全然気づいていなかったのである（unaware that he had been anticipated）。第二の例は、私がカリフォルニヤ大学でライヘンバッハ(注：Hans Reichenbach, 1891年- 1953年4月9日：科学哲学者であり、論理経験主義の代表的主唱者)の同僚であったときに現われた。ライヘンバッハは私に、数学的帰納法の一つの拡張を考えついたと言い、それを「超限帰納法」と名付けたと言った。私はかれに、その問題は『プリンキピア・マテマティカ』の第三巻で十分に論じてあると彼に告げた。一週間後に彼に会ったとき、彼は私の言った通りだったと告げた。私は本章において、哲学的見地からでなく数学的見地から見て『プリンキピア・マテマティカ』の重要な側面だと私に思われることについて、専門的になりすぎずに説明できる範囲内において、説明したい。

Chapter 8 Principia Mathematica: Mathematical Aspects, n.1 Both Whitehead and I were disappointed that Principia Mathematica was only viewed from a philosophical standpoint. People were interested in what was said about the contradictions and in the question whether ordinary mathematics had been validly deduced from purely logical premisses, but they were not interested in the mathematical techniques developed in the course of the work. I used to know of only six people who had read the later parts of the book. Three of these were Poles, subsequently (I believe) liquidated by Hitler. The other three were Texans, subsequently successfully assimilated. Even those who were working on exactly the same subjects did not think it worth while to find out what Principia Mathematica had to say on them. I will give two illustrations: Mathematische Annalen published about ten years after the publication of Principia a long article giving some of the results which (unknown to the author) we had worked out in Part IV of our book. This article fell into certain inaccuracies which we had avoided, but contained nothing valid which we had not already published. The author was obviously totally unaware that he had been anticipated. The second example occurred when I was a colleague of Reichcenbach at the University of California. He told me that he had invented an extension of mathematical induction which he called ‘transfinite induction’. I told him that this subject was fully treated in the third volume of the Principia. When I saw him a week later, he told me that he had verified this. I wish in the present chapter to explain, as far as I can without undue technicality, what seemed to me the important aspects of the Principia from a mathematical as opposed to a philosophical point of view. 　Source: My Philosophical Development, chap. 8：1959． 　More info.:https://russell-j.com/beginner/BR_MPD_08-010.HTM