バートランド・ラッセル『私の哲学の発展』第6章 「数学における論理的手法」 n.7


 この定義(の仕方)は、種々の利点(advantages)がある。それは、以前、0と1とについて生じていた問題全てを片づけてしまう(deals with 処理する)。(即ち,この定義によれば) 0とは、要素をもたない集合の集合である。つまり、それは(0とは)その唯一の要素が、要素をまったく持たない(一つの)集合であるところの集合である。1とは、ある項 x と同一である任意の項からなるという特性(属性)を持つ集合の集合である。(この定義法の)第二の利点は、一と多に関する困難を乗り越える(gets over)という点である。数えられる項は、一つの命題関数の例(instances 事例)として数えられるので、それに伴う(含まれる)統一性(the unity involved)は、もっぱら「命題関数(として)統一性であり、それは決して例(事例)の多数性とは衝突(矛盾)しない。しかし、これら二つの利点のいずれよりも重要なのは、我々が形而上学的存在者としての数を排除できるということである。数は,実際、単なる言語上の便利なもの(便宜的なもの)にすぎないものとなり、「その他/等々」(etc)とか つまり/即ち(i.e)とかいう略字のもつ以上の実体性を持つものではなくなるクロネッカー(注:1823-1891、ドイツの数学者)は、数学について哲学的思索を行い、「神が整数をつくり、数学者がその他の数学的道具立てをつくった」と言った。彼が言おうとしたのは、全ての整数は独立の存在者でなければならないが、他の種類の数は独立した存在である必要(性)はない、ということであった。(しかし)上に述べた数の定義(法)により、整数の持つこのような特権は消滅し、数学者の基本的な道具立て(primitive 基本の,根本の)は、「あるいは(or)」とか「ない(not)」とか「全ての(all)」とか「ある(some)」とかいうような純粋に論理的な名辞(論理項)に還元されるのである(減少させられる)。これが、一定の知識の体系において、未定義の術語(terms)及び証明されていない命題の数を減らすために、オッカムの剃刀がいかに有用であるか、ということについての私の最初の経験であった
Chapter 6: Logical Technique in Mathematics, n.7
This definition has various advantages. It deals with all the problems that had previously arisen concerning 0 and 1. 0 is the class of those classes that have no members – i.e. it is the class whose only member is a class having no members. 1 is the class of those classes that have the property of consisting of whatever is identical with some term x, A second advantage of the definition is that it gets over difficulties concerning the one and the many. Since the terms counted are counted as instances of a propositional function, the unity involved is only that of the propositional function, which in no way conflicts with the plurality of instances. But much more important than either of these two advantages is the fact that we get rid of numbers as metaphysical entities. They become, in fact, merely linguistic conveniences with no more substantiality than belongs to ‘etc.’ or ‘i.e.’. Kronecker, in philosophizing about mathematics, said that ‘God made the integers and the mathematicians made the rest of the mathematical apparatus’. By this he meant that each integer had to have an independent being, but other kinds of numbers need not have. With the above definition of numbers this prerogative of the integers disappears and the primitive apparatus of the mathematician is reduced to such purely logical terms as or, not, all and some. This was my first experience of the usefulness of Occam’s razor in diminishing the number of undefined terms and unproved propositions required in a given body of knowledge.
 Source: My Philosophical Development, chap. 6:1959.  
 More info.:https://russell-j.com/beginner/BR_MPD_06-070.HTM

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