命題関数とは、
常に真であるとき、 必然的な
時に真であるとき、 可能な
決して真ではないとき、 不可能な
関数と言ってよいでしょう。
命題関数と命題とを混同したために、多くの誤った哲学が生まれました。非常に多くの伝統的哲学は、命題関数にのみ適用される述語を命題に帰属させることによって、またいっそう悪いことに、述語を個物に帰属させることによって成り立っています。必然的な、可能な、不可能な，という述語は、その良い例です。全ての伝統的哲学では、「様相」の名の下に、命題の性質としての必然性、可能性、不可能性が論じられていますが、実際それらは命題関数の性質なのです。★命題は真か偽であるだけです。
「ⅩはⅩである」は、「Ⅹ」が何であろうと真になる命題関数、つまり必然的な命題関数です。「Ⅹは人間である」なら可能な、「Ⅹは一角獣である」なら不可能な命題関数になります。
★命題は真か偽のどちらかでしかありえませんが，命題関数には以上３つの可能性があります。様相に関する学説で述べられていることは全て命題関数についてのみあて★る、と私は考えます。
One may call a propositional function
necessary, when it is always true;
possible, when it is sometimes true;
impossible, when it is never true.
Much false philosophy has arisen out of confusing propositional functions and propositions. There is a great deal in ordinary traditional philosophy which consists simply in attributing to propositions the predicates which only apply to propositional functions, and, still worse, sometimes in attributing to individuals predicates which merely apply to propositional functions. This case of necessary, possible, impossible, is a case in point. In all traditional philosophy there comes a heading of ‘modality’, which discusses necessary, possible, and impossible as properties of propositions, whereas in fact they are properties of propositional functions. Propositions are only true or false.
If you take ‘x is x’, that is a propositional function which is true whatever ‘x’ may be, i.e. a necessary propositional function. If you take ‘x is a man’, that is a possible one. If you take ‘x is a unicorn’, that is an impossible one.
Propositions can only be true or false, but propositional functions have these three possibilities. It is important, I think, to realize that the whole doctrine of modality only applies to propositional functions, not to propositions.
* a case in point 良い例,適切な例
出典：Bertrand Russell: The Philosophy of Logical Atomism, 1918.
【 La Salle, Illinois; Open Court, c1985, pp.96-97. paperback ed.】
[寸言]
一見わかりにくいと思うかもしれませんが、ゆっくり冷静によめば、大部分の人にわかる、当たり前のことを指摘しています。命題と命題関数との違いをはっきり区別するようにすると、日頃の思考に大きな進歩があるのではないでしょうか？