この頃の私の数学に対する態度は、「数学の研究」と名付けられた論文に表われている。これは1907年に「The New Quarterly」誌 に発表され、また、(私の)『 Philosophical Essays（哲学論文集)』(1910年刊)に再録された。この論文集からの（以下の）いくつかの引用が、当時私の感じていたことを例証している。

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　数学は、正しく見れば、真理を持つだけでなく、最高の美を持っている。その美は、彫刻の美のように、冷たく簡素な（禁欲的な）美であり、我々（人間）の本性の弱い部分に訴えることなく､絵画や音楽のような立派な装飾を持たず、しかるに（yet）この上なく純粋で ただ最高の芸術のみが示すことができるような厳しい完全性を持ちうるのである。喜びの真の精神、 精神の高揚、人間以上のものであるという感じは、－ これこそ最高の卓越性の証拠であり－　詩の中においてと同様に確実に（as surely as）、数学の中に見出すことができる。数学における最上のものは、単に課題として学ぶ価値があるだけでなく、日常的な思考の一部として吸収され（同化され）、繰り返し繰り返しそれを心に思うことによって、常に新たな励ましをもたらしてくれる。 実生活(real life )は大多数の人にとって長期にわたる次善のもの（ a long second-best）であり、理想と可能との間における絶えざる妥協（の産物）である。しかし、純粋理性の世界は妥協を知らず,実際上の制限を知らず、 全て偉大な作品が生まれいづる（ところの）完全なものへの熱情的な憧憬を見事な建造物に具体化（具現化）する創造的活動を妨げる何ものをも知らない（のである）。人間の情念から遠く離れ､自然の事実からさえも遠く離れ、 幾世代もの人々が、一つの秩序ある宇宙を造り出してきた（きている）。 そこには純粋な思考がその自然の住処（すみか：s in its natural home）を見出すことができ、我々（人間）の持つ高貴な衝動の少なくとも一つが、現実世界の悲惨な流浪（he dreary exile of the actual world.）から逃れることができるのである。

　非人間的なるものについての熟考（沈思黙考）、我々の精神によって作り出されたものではない材料をとり扱うことができるという発見、とりわけ、美が（人間の）内的世界に属するように外的世界にも属していると理解する（悟る）ことは、外的な力がほぼ全能（the all-but omnipotence of alien forces）であるのを認めることからあまりにもしばしば生ずる、あのおそるべき無力感、虚弱感、敵意ある諸力の中に追放されているという意識を克服するための主な手段である。運命の支配に対して －運命の支配というのは、（上述の）諸力を単に文学的に擬人化（personification）したものにすぎない－ おごそかな美を展示して我々と和解させることは、悲劇の任務とするところである。しかし、数学は人間的なるものからさらに一層我々を引き離し、現実世界のみならずあらゆる可能世界が従わなければならない（ところの）絶対的必然性の領域に我々を連れてゆく。そして　まさにこの所に、数学はその住みかを建てる、あるいはむしろ、永遠の昔から立っている住みかを見出す のであり、そこでは我々の理想は完全に満たされ、我々の最上の希望は阻止されないのである。

　あまりにもしばしば次のように主張さされる。即ち、絶対的真理は存在せず、ただ意見と私的判断のみが存在するとか、我々は全て、世界の見方において、我々自身の個人的特質や趣味や偏見によって条件づけられているとか、忍耐や訓練によって最後には入ることできるところの外にある真理の王国なるものは存在せず､ただ私にとっての真理やあなたにとっての真理、つまり個々人にとっての真理のみが存在するとか（しばしば主張される）。しかし、このような精神的習慣によって、人間の努力の主要な目的の一つは否定され､ 公平無私（candour)､即ち、現実のあるがままを恐れを抱かず認めるという最高の美徳（最高善）は、我々の道徳的視野から消えてしまう（のである）。

　悪と苦悩に満ちた世界において、いかに高貴であるにせよ常に少数の者にしか与えられない喜びを享受するために、観想という宗教的避難所（cloister）に隠れ住むことは､正義が全く役割を果たさない偶然の出来事によって他の人々に課せられている重荷を共有することをいくらか利己的に拒んでいるようにしか見えない（cannot but appear as）。我々は問う､ 現在の諸悪から身を引き、同胞を見すてて助けず、自らは労多く厳しき生とは言え、明らかにそれ自体において良い暮らしを送る権利を我々は持っているのであろうか？
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　これら全てのことは、それを信ずる喜びを私は今もなおありありと覚えているが、私には （今では）ほとんど無意味であると思われるようになっている。それは一部には専門的（学問的）理由からであり、一部は世界に対する私の一般的な見方の変化のゆえである。数学はその主題において非人間的なものだとは私には思われなくなった。私は、大変不本意ながら数学はトートロジー（同語反復/恒真命題）で成り立っていると信ずるにいたった。 十分な知力を持つ精神にとっては、数学全体がありふれたつまらないこと、たとえば「四足獣は獣である」 （訳注：同語反復の例）という陳述のようないつまらないものに思われるであろう。数学の無時間性（訳注：数学は時間の流れに影響を受けない永遠の真理であるという性質）は、かつての私に そう見えたような崇高さ（sublimity）を決して持たず､純粋数学が時間について語るところがないということにすぎない、と私は考える。私はもはや数学的真理の観想の中にいかなる神秘主義的満足をも見出すことはできない（のである）。

Chapter 17: Retreat from Pythagoras ,n.3
My attitude to mathematics at this time was expressed in an article called ‘The Study of Mathematics’, which was printed in The New Quarterly in 1907, and reprinted in Philosophical Essays (1910). Some quotations from this essay illustrate what I then felt: Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty — a beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show. The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more than man, which is the touchstone of the highest excellence, is to be found in mathematics as surely as in poetry. What is best in mathematics deserves not merely to be learnt as a task, but to be assimilated as a part of daily thought, and brought again and again before the mind with ever-renewed encouragement. Real life is, to most men, a long second-best, a perpetual compromise between the ideal and the possible; but the world of pure reason knows no compromise, no practical limitations, no barrier to the creative activity embodying in splendid edifices the passionate aspiration after the perfect from which all great work springs. Remote from human passions, remote even from the pitiful facts of nature, the generations have gradually created an ordered cosmos, where pure thought can dwell as in its natural home, and where one, at least, of our nobler impulses can escape from the dreary exile of the actual world. The contemplation of what is non-human, the discovery that our minds are capable of dealing with material not created by them, above all, the realization that beauty belongs to the outer world as to the inner, are the chief means of overcoming the terrible sense of impotence, of weakness, of exile amid hostile powers, which is too apt to result from acknowledging the all-but omnipotence of alien forces. To reconcile us, by the exhibition of its awful beauty, to the reign of Fate — which is merely the literary personification of these forces — is the task of tragedy. But mathematics takes us still further from what is human, into the region of absolute necessity, to which not only the actual world, but every possible world must conform; and even here it builds a habitation, or rather finds a habitation eternally standing, where our ideals are fully satisfied and our best hopes are not thwarted. Too often it is said that there is no absolute truth but only opinion and private judgment; that each of us is conditioned, in his view of the world, by his own peculiarities, his own taste and bias; that there is no external kingdom of truth to which, by patience, by discipline, we may at last obtain admittance, but only truth for me, for you, for every separate person. By this habit of mind one of the chief ends of human effort is denied, and the supreme virtue of candour, of fearless acknowledgment of what is, disappears from our moral vision. In a world so full of evil and suffering, retirement into the cloister of contemplation, to the enjoyment of delights which, however noble, must always be for the few only, cannot but appear as a somewhat selfish refusal to share the burden imposed upon others by accidents in which justice plays no part. Have any of us the right, we ask, to withdraw from present evils, to leave our fellowmen unaided, while we live a life which, though arduous and austere, is yet plainly good in its own nature? All this, though I still remember the pleasure of believing it, has come to seem to me largely nonsense, partly for technical reasons and partly from a change in my general outlook upon the world. Mathematics has ceased to seem to me non-human in its subject-matter. I have come to believe, though very reluctantly, that it consists of tautologies. I fear that, to a mind of sufficient intellectual power, the whole of mathematics would appear trivial, as trivial as the statement that a four-footed animal is an animal. I think that the timelessness of mathematics has none of the sublimity that it once seemed to me to have, but consists merely in the fact that the pure mathematician is not talking about time. I cannot any longer find any mystical satisfaction in the contemplation of mathematical truth.
　Source: My Philosophical Development, 1959, by Bertrand Russell 　
　More info.: https://russell-j.com/beginner//BR_MPD_17-030.HTM

　私の数学の応用への興味・関心は、次第に数学がその基礎をおく原理（数学原理）への興味・関心に置き換えられていった（変わっていった）。この変化は数学的懐疑論を論破したいという望みから起った。私が受けいれるようにと言われていた議論（論証）の多くは、明らかに誤まっており、数学的信念に対するより強固な基礎を与えると思われる本は、見つけしだい何でも（片っ端から）読んだ。この種の研究は、私を応用数学から次第に遠ざからせ、ますます抽象的な領域へと、最終的には、数理論理学へと、私を導いた。 （そうして）私は数学を、主として（第一に）感覚的世界を理解し処理するための道具としてではなく、プラトン的世界に存立,し,不純な堕落した形においてのみ,感覚的世界に降りてくる(ところの),抽象的建造物（abstract edifice ）として考えるにいたった。今世紀（注：20世紀）の初期における私の一般的な物の見方（my general outlook）は、非常に禁欲的なものであ った。 私は現実の世界を嫌い、変化も衰退もまた進歩のキツネ火（will-o’-the-wisp 幻影)も存在しない時間のない世界に避難所を求めた。こういう見方は非常にまじめかつ真剣なものであったが、時にはそれを私は軽薄な（frivolous 少し不真面目な）やり方で表現した。私の義兄のローガン・ビアサル・スミスは人に会うといつも尋ねる一組の質問を持っていた（いつも一組の質問をしたものである）。その一つは、「何が特に好きか」という質問であった。私はこう答えた、「数学と海、それから神学と紋章学（が好きです） 前者の二つは非人間的だから好きであり、後者の二つは馬鹿げているから好きです」。けれども、この答え（方）は、質問者の是認を得たいという望みからそういった形（不真面目な形態）をとったのである。

Chapter 17: Retreat from Pythagoras ,n.2
My interest in the applications of mathematics was gradually replaced by an interest in the principles upon which mathematics is based. This change came about through a wish to refute mathematical scepticism. A great deal of the argumentation that I had been told to accept was obviously fallacious, and I read whatever books I could find that seemed to offer a firmer foundation for mathematical beliefs. This kind of research led me gradually further and further from applied mathematics into more and more abstract regions, and finally into mathematical logic. I came to think of mathematics, not primarily as a tool for understanding and manipulating the sensible world, but as an abstract edifice subsisting in a Platonic heaven and only reaching the world of sense in an impure and degraded form. My general outlook, in the early years of this century, was profoundly ascetic. I disliked the real world and sought refuge in a timeless world, without change or decay or the will-o’-the-wisp of progress. Although this outlook was very serious and sincere, I sometimes expressed it in a frivolous manner. My brother-in-law, Logan Pearsall Smith, had a set of questions that he used to ask people. One of them was, ‘What do you particularly like?’ I replied, ‘Mathematics and the sea, and theology and heraldry, the two former because they are inhuman, the two latter because they are absurd’. This answer, however, took the form that it did from a desire to win the approval of the questioner.
　Source: My Philosophical Development, 1959, by Bertrand Russell
　More info.: https://russell-j.com/beginner//BR_MPD_17-020.HTM

　今世紀(注：20世紀)の初期以来の私の哲学の発展はピタゴラスからの段階的な（徐々の）後退であった、と大雑把に言うことができる。ピタゴラス派の人々は数学と結びついた独特な形態の神秘主義をもっていた。この形態の神秘主義はプラトンに大きな影響を与え、しかも通常認められている以上の影響を彼に与えている、と私は考えている。私も一時期、非常によく似た見解を持ち、数理論理学の本質だと当時考えていたその本質の中に、いくつかの重要な情緒的側面において深い満足を与えるものを、見出していた。 　少年の時の私の数学に対する興味はもっと単純かつ普通のものだった。それはピタゴラスよりもターレスに類似しているものであった。現実世界の事物が数学的法則に従うのを発見して私は喜んだ。私は挺子(てこ）や滑車を好み、落下する物体が放物線を描くという事実を好んだ。私はビリヤード（玉つき）をやって遊ぶことはできなかったが、ビリヤードの球の動き方についての数学的理論は好きであった。あるとき、新しい家庭教師つけてもらった時、ある折に、私が銅貨（１ペニー）を回転させたところ、彼は次のように言った。「なぜ銅貨は回転しますか？（理由がわかりますか？｣。私は「指で偶力（a couple）をつくるからです」と答えた。驚いて、彼は言った。「偶力についてどれだけ知っていますか」。私は得意げにこう答えた。「偶力については何でも知っています」。また、テニスコートを私が区割しなければならなかった折（訳注：多分、石灰でテニスコートにラインを引くこと）には、私はピタゴラスの定理を使って、線が互いに直角をなっていることを確かめた。私の（ある）叔父が、著名な物理学者のティンダルを尋ねる時に、私を連れて行った。叔父とティンダルが話している間、私は自分自身の楽しみを見つけなければならなかった（一人で遊んでいなければならなかった）。 私は曲った持ち手のある二本の杖を手に入れた（get hold of）。私は両方の杖を一本の指でバランスをとり、（二本のステッキを）反対方向に傾け、ある点で交叉するようにした。ティンダルはふりかえって「何をしているのか｣と私に尋ねた。 私は「重心を決めるうまい実用的な方法を考えています。一本一本のステッキの重心は私の指から地面への垂線上にあるはずであり、ステッキが交叉する点にあるに違いないからです｣。　恐らく私のこの発言のせいであろうが､ティンダルは彼の著書の『水の諸形態』を私にくれた。当時私は、心理学も含めて、全ての科学 が数学的なものになりうることを望んでいた。’力の平行四辺形‘（the parallelogram of forces）は、一つの物体に同時に二つの力が作用する時、その物体は二つの力の方向の中間の方向に,（しかも）強い方の力の方向寄りに進むと示すが、私はこれと同様 な「（人間の）動機の平行四辺形」があるかも知れないと期待した。（しかし、 －これは愚かな考えだった。なぜなら、ある人が道の分岐点(a fork ホークの先はわかれている！）に来て、どちらの道にもひとしく心をひかれる場合、二つの道の中間を行くなどということはないからである。当時の科学はまだ「全か無かの法則｣ (all-or-nothing principle 生体の反応は、刺激がある一定の値（閾値(いきち)）以下のときは皆無で、閾値に達すると最大を示し、それ以上刺激を強めても変化はないという法則) を知るにいたっていなかった。 この原理の重要な意味は今世紀になってやっと発見されたのだからである。若い時、私は 方向の異なる二つの力（引力）はホイッグ党風の妥協に導くだろうと考えていたが、その後明らかになったところでは､そういう場合に二つの力のうちの一方が完全に他方を打ち負かすことが非常に多い（のである）。ジョンソン博士は最初のホイッグ党員は全能者＝神ではなく悪魔であると言ったが､これはこのジョンソンの意見を正当化している。（訳注：神（全能者）と悪魔の中間の存在というものはないのであり、神でないとしたら悪魔だ（英国のホイッグ党員は悪魔だ！）ということになる、とのニュアンスと思われます。）

Chapter 17: Retreat from Pythagoras ,n.1 My philosophical development, since the early years of the present century, may be broadly described as a gradual retreat from Pythagoras. The Pythagoreans had a peculiar form of mysticism which was bound up with mathematics. This form of mysticism greatly affected Plato and had, I think, more influence upon him than is generally acknowledged. I had, for a time, a very similar outlook and found in the nature of mathematical logic, as I then supposed its nature to be, something profoundly satisfying in some important emotional respects. As a boy, my interest in mathematics was more simple and ordinary: it had more affinity with Thales than with Pythagoras. I was delighted when I found things in the real world obeying mathematical laws. I liked the lever and the pulley and the fact that falling bodies describe parabolas. Although I could not play billiards, I liked the mathematical theory of how billiard balls behave. On one occasion, when I had a new tutor, I spun a penny and he said, ‘Why does the penny spin?’ I replied, ‘Because I make a couple with my fingers’. He was surprised and remarked, ‘What do you know about couples?’ I replied airily, ‘Oh, I know all about couples’. When, on one occasion, I had to mark the tennis court myself, I used the theorem of Pythagoras to make sure that the lines were at right angles with each other. An uncle of mine took me to call on Tyndall, the eminent physicist. While they were talking to each other, I had to find my own amusement. I got hold of two walking-sticks, each with a crook. I balanced them on one finger, inclining them in opposite directions so that they crossed each other at a certain point. Tyndall looked round and asked what I was doing. I replied that I was thinking of a practical way of determining the centre of gravity, because the centre of gravity of each stick must be vertically below my finger and therefore at the point where the sticks crossed each other. Presumably in consequence of this remark, Tyndall gave me one of his books, The Forms of Water, I hoped, at that time, that all science could become mathematical, including psychology. The parallelogram of forces shows that a body acted on by two forces simultaneously will pursue a middle course, inclining more towards the stronger force. I hoped that there might be a similar ‘parallelogram of motives’– a foolish idea, since a man who comes to a fork in the road and is equally attracted to both roads, does not go across the fields between them. Science had not then arrived at the ‘all-or-nothing principle’ of which the importance was only discovered during the present century. I thought, when I was young, that two divergent attractions would lead to a Whig compromise, whereas it has appeared since that very often one of them prevails completely. This has justified Dr Johnson in the opinion that the Devil, not the Almighty, was the first Whig.
　Source: My Philosophical Development, 1959, by Bertrand Russell
　More info.: https://russell-j.com/beginner//BR_MPD_17-010.HTM

　生（なま）の事実から科学への移行において、我々（人間）は演繹的論理の推論形式に加えて種々の推論形式を必要とする。 伝統的には帰納法がこの目的に役立つだろうと考えられて来たが、それは誤まりであった。というのは、真である前提から出発する帰納的推論の結論は、真であるよりも偽である場合のほうが多いからである。感覚（で得られるもの）から科学への移行に必要な（要求される）推論の原理は分析によって獲得されなければならない。必要とされる分析（the analysis involved）は、誰もが実際上疑うことのないような種類の推論の分析である（訳注：どういった推論なら誰もが疑わない推論と認めるだろうか、ということについての分析）。たとえば、ある瞬間に猫が炉の前の敷物（hearth-rug）の上にいるのを目撃し、別の瞬間にその猫が戸口（部屋あるいは家の出入り口）にいるのを見たならば、たとえわれわれが猫が動くのを見なかったとしても、猫は炉と戸口との中間の諸点を通った（はずだ）という推論である。科学的推論を分析するという仕事が適切に遂行されるならば、そういう推論の具体的事例は、(a)誰も本気では疑わないようなものであり、(b)感覚的事実を基にして、感覚的事実を超えたものを我々が信じることができるためには、不可欠な推論である,ということが明らかになるであろう（it will appear that）。
　そういった研究の結果（成果）は、哲学よりはむしろ科学であるとみなされるべきものである。即ち、そういう結果を受けいれるための理由は、科学的研究に適用される通常の理由であり、何らかの形而上学的理論から得られるかけ離れた理由ではない（のである）。より具体的に言うと、あまりにもしばしば,また,あまりにも無益に、向う見ずな哲学者達が主張してきたような、確実性の主張（訳注：私の主張は絶対に正しい、といったような主張）はまったく存在していない（のである）。

Chapter 16: Non-Demonstrative Inference , n.25
In the transition from crude fact to science, we need forms of inference additional to those of deductive logic. Traditionally, it was supposed that induction would serve this purpose, but this was an error, since it can be shown that the conclusions of inductive inferences from true premisses are more often false than true. The principles of inference required for the transition from sense to science are to be attained by analysis. The analysis involved is that of the kinds of inference which nobody, in fact, questions: as, for example, that if, at one moment, you see your cat on the hearth-rug and, at another, you see it in a doorway, it has passed over intermediate positions although you did not see it doing so. If the work of analysing scientific inference has been properly performed, it will appear that concrete instances of such inference are (a) such as no one honestly doubts, and (b) such as are essential if, on the basis of sensible facts, we are to believe things which go beyond this basis. The outcome of such work is to be regarded rather as science than as philosophy. That is to say, the reasons for accepting it are the ordinary reasons applied in scientific work, not remote reasons derived from some metaphysical theory. More especially, there is no such claim to certainty as has, too often and too uselessly, been made by rash philosophers.
　Source: My Philosophical Development, 1959, by Bertrand Russell
　More info.: https://russell-j.com/beginner//BR_MPD_16-250.HTM

　デカルト的懐疑の方法は　－ 若い時には魅力的に思われ、現在でも論理的解剖の仕事における道具として役に立つかも知れないが－　私にとって、もはや根本的な妥当性を持っている方法とは思われない。普遍的懐疑論(Universal scepticism）は、論破できないが、受け入れることもまたできない（ものである）。私は、感覚の事実(感覚を通して得られる事実)及び科学の広範な真理を、所与のデータとして哲学者が採用すべきものとして、受けいれるようになった（なっている）。なぜなら、これらのものが真であることは、絶対確実だとは言えないけれども、それらは、哲学的思弁によって達せられそうないかなるものよりも（真である）高い確率を持っているからである。

Chapter 16: Non-Demonstrative Inference , n.24
The method of Cartesian doubt, which appealed to me when I was young and may still serve as a tool in the work of logical dissection, no longer seems to me to have fundamental validity. Universal scepticism cannot be refuted, but also cannot be accepted. I have come to accept the facts of sense and the broad truth of science as things which the philosopher should take as data, since, though their truth is not quite certain, it has a higher degree of probability than anything likely to be achieved in philosophical speculation.
　Source: My Philosophical Development, 1959, by Bertrand Russell
　More info.: https://russell-j.com/beginner//BR_MPD_16-240.HTM