バートランド・ラッセル『私の哲学の発展』第8章 「数学原理ーその数学的側面」 n.13


 祖先関係の全理論は、非常に重要なものであって、単に数との関係において重要であるだけではない。それゆえに(そういう理由で)、我々(ラッセルとホワイトヘッド)は当該理論(祖先関係の理論)を数の定義を導入する前に展開した(のである)。  さて(今や)、「関係算術」(注:relation-arithmetic/複雑な関係を数学における算術計算の結果と捉えること?)と私の呼ぶものについて述べよう(I come now to ~)。これは「プリンキピア・マテマティカ(原理)」の第二巻の後半を占めている。数学的見地から言えば,これがこの著作(『プリンキピア』)で私の挙げた最も重要な貢献(成果)であった。私が「関係数」(relation-number)と呼んだものは全く新しい種類の数であり、その非常に特殊化された例が「順序数(序数)」(ordinal numbers 順序のある数)である。私は「順序数」について異なるすべての形式的法則(formal laws)が、それよりはるかに一般的な「関係数」についても真であることを発見した。私はまた、関係数が「構造」(structure)というものの理解に不可欠であることを発見した。「構造」(structure)という言葉は、「以下同様」とか「系列」(series 数学の「級数」)という言葉と同じく、我々が日常使い慣れているにもかかわらず、それの正確な意味が付与されていない言葉(注:正確な意味を理解しないで使用している言葉)である。(しかし)関係算術によって「構造」という概念は正確に定義することができる。

Chapter 8 Principia Mathematica: Mathematical Aspects, n.13 The whole theory of ancestral relations is very important not only in connection with numbers. For this reason we developed the theory before introducing the definition of number. I come now to what I call ‘relation-arithmetic’ which occupied the second half of the second volume of Principia. From the mathematical point of view this was my most important contribution to the work. What I called ‘relation-numbers’ were numbers of an entirely new sort of which ordinal numbers were a very specialized example. I found that all the formal laws which are true of ordinal numbers are true of this far more general kind. I found, also, that relation-numbers are essential to the understanding of structure. ‘Structure’ is one of those phrases, like ‘and so on’ or ‘series’, which are familiarly employed in spite of the fact that no precise significance is attached to them. By means of relation-arithmetic the concept ‘structure’ can be precisely defined.
 Source: My Philosophical Development, chap. 8:1959.  
 More info.:https://russell-j.com/beginner/BR_MPD_08-130.HTM

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