バートランド・ラッセル『私の哲学の発展』第7章 「数学原理ーその哲学的側面」 n.9


 技術的な詳細に立ち入ることなく、型の理論(タイプ理論)の大まかな原理(the broad principles)について説明することは可能である(注:ちなみに、みすず書房刊の野田氏の訳書では「主要原理」と訳されている。「主要」なら”main”であろう”)。タイプ理論に近づく(アプローチする)最もよい方法は、多分、「集合(class)」が何を意味するかを調査(吟味)することによってであろう。ありふれた例(homely illustration)から始めよう。(即ち)食事の終りに主人(食事に招いてくれたホスト)が、三つの異なるお菓子のなかから選ぶように言い、どれか一つまたは二つまたは三つ(全部)と、好きなように選んでくださいと促したとしよう。このとき何種類のやり方(courses of conduct 行為のコース=選択の種類)があなたに許されているか?(可能か?) あなたは三つともいらないと言うかも知れない。これは一つの選択(肢)である。あなたは(三つの中から)一つをとるかも知れない。これは三つの異なる仕方で可能である。従って、さらに三つの選択肢をあなたに与える(注:1+3でここままで計4通り)。次に二つを選ぶかも知れない。これもまた三つの仕方で可能である(注:三つの中から二つ選ぶやり方は三通りあるということ)。あるいはあなたは、三つとも選ぶことが可能である。これは最後の一つの(選択の)可能性である。このようにして、選択可能なやりかたの合計は8、即ち、23(2の3乗、以下お同様)となる(注:1+3+3+1 = 8)。この手続き(手順)を一般化することは容易である。あなたの眼の前に n個の対象物(もの)があり、この中から、ひとつも取らない、何個かとる、全てを取るというやり方(選び方)が全部でいくつあるかを知りたいと思っていると仮定しよう。あなたはその方法の数が23あることを知るであろう。論理的な言葉を使おう。(即ち)n個の要素(項目)からなる集合は、23個の部分集合を持つ。この命題は、n が無限大であってもやはり(still)真である。カントールが証明したことは、この場合においても(訳注:n が無限大であっても”) 2n(2のn乗)は、n より大であるということであった。私がやったように、これを宇宙に存在する全てのもの(things)に適用すると、(宇宙に存在する)「もの(things)」よりもより多くの「ものの集合()classes of things」がある、という結論に達する(訳注:宇宙に存在するものの総数よりも、それらの物の部分集合の数の方が多い=大きい、ということ)。従って「集合」は「もの」ではないことになる(訳注:「もの」の数なら同数にならないといけないはず)。しかし、この陳述において、「もの(thing)」という語が何を意味するかは誰も十分に知らないので、一体何が証明されたのかを正確に述べることはそう簡単ではない。私の達した結論は、集合は言語使用上の便宜にすぎないということであった。『数学の諸原理』(The Principles of Mathematics)を書いた時代に、すでに私は、集合の問題についていくらか困難を感じていた。けれども、私は、当時、今適切だと考えるよりももっと実在論的な(スコラ哲学の意味において)言葉で自分の考えを述べていた。私はその本の序文で次のように言っている。 「定義不可能なものについての論議 -それが哲学的論理学の主要部分をなす- は、問題となっている存在(entities)を、明瞭に見、かつ他人に明瞭に見させようとする努力であり、精神が赤さとかパイナップルの味とかに対してもつような種類の『直接知(直知)』(acquaintance)を、それらの存在者(注:現在のところよくわからないもの)に対しても持つにいたらしめようとすることである。しかし今の場合のように、定義不可能なものが、主として分析の過程を通じて得られる必然的な残存物である場合には、そういう存在がなければならぬと知ることの方が、そういう存在を現実に知覚することよりも、多くの場合容易である。ここには、かの海王星の発見を生んだものと似た過程がある。ただ異なる点は、最後の段階-推理された存在者を精神の望遠鏡によって探すことが、多くの場合、仕事の最もむずかしい部分であるということだ。集合の場合には、私は、集合という概念の要求する諸条件を満足するような何らかの観念を知覚することができなかった、と告白せざるを得ない。そして第十章で論じた矛盾は、何かがまちがっているということを示すが、それが何であるかを私は今までに発見できなかった。」

Chapter 7: Principia Mathematica: Philosophical Aspects, n.9

Without going into difficult technical details, it is possible to explain the broad principles of the theory of types. Perhaps the best way of approaching the theory is by examination of what is meant by a ‘class’. Let us start with a homely illustration. Suppose, at the end of dinner, your host offers you a choice of three different sweets, urging you to have any one or two or all three, as you may wish. How many courses of conduct are open to you? You may refuse all of them. That is one choice. You may take one of them. This is possible in three different ways and therefore gives you three more choices. You may choose two of them. This again is possible in three ways. Or you may choose all three, which gives you one final possibility. The total number of possibilities is thus eight, i.e. 23. It is easy to generalize this procedure. Suppose you have n objects before you and you wish to know how many ways there are of choosing none or some or all of the n. You will find that the number of ways is 23. To put it in logical language: a class of n terms has 23 sub-classes. This proposition is still true when n is infinite. What Cantor proved was that, even in this case, 2n is greater than n. Applying this, as I did, to all the things in the universe, one arrives at the conclusion that there are more classes of things than there are things. It follows that classes are not ‘things’. But, as no one quite knows what the word ‘thing’ means in this statement, it is not very easy to state at all exactly what it is that has been proved. The conclusion to which I was led was that classes are merely a convenience in discourse. I was already somewhat bewildered on the subject of classes at the time when I wrote The Principles of Mathematics. I expressed myself, however, in those days, in language which was more realistic (in the scholastic sense) than I should now think suitable. I said in the preface to that work: ‘The discussion of indefinables – which forms the chief part of philosophical logic – is the endeavour to see clearly, and to make others see clearly, the entities concerned, in order that the mind may have that kind of acquaintance with them which it has with redness or the taste of a pineapple. Where, as in the present case, the indefinables are obtained primarily as the necessary residue in a process of analysis, it is often easier to know that there must be such entities than actually to perceive them; there is a process analogous to that which resulted in the discovery of Neptune, with the difference that the final stage – the search with a mental telescope for the entity which has been inferred – is often the most difficult part of the undertaking. In the case of classes, I must confess, I have failed to perceive any concept fulfilling the conditions requisite for the notion of class. And the contradiction discussed in Chapter X proves that something is amiss, but what this is I have hitherto failed to discover.’  
 Source: My Philosophical Development, chap. 7:1959.  
 More info.:https://russell-j.com/beginner/BR_MPD_07-090.HTM

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