第８章 「数学原理－その数学的側面」 n.12 - 数学的帰納法は一つの定義
論理学における選択の理論はいかなる点においても「数」の概念には依存しておらず、『プリンキピア・マテマティカ(数学原理)』では、私たち（ラッセルとホワイトヘッド）は、その理論を数の定義の前に展開した。同じことが，もうびとつの非常に重要な概念、即ち、通常（日常）の言葉では「以下同様」（and so on）と表現される概念についてもあてはまる。
「祖先」という概念を「親」という概念によって（in terms ～に関して、～の観点で）定義したいと思っているとしてみよう。（その場合）あなたは、ＡはＢの親であり、ＢはＣの親であり、以下同様にして有限な数の何段階かを経た後、Ｚの親であるＹという人に達するならば、我々はＡはＺの祖先であると言ってよいであろう。これは、そこに「有限」という語が含まれておらず、その語は定義されなければならないということ（事実）がなければ、万事うまくいくであろう（しかし、実際は、「有限」が前提で、定義もされなければならない／"but for" は「～がなければ」） そして「有限」という語の定義は、任意の全く一般的な概念、即ち、任意に与えられる関係から生ずる（得られる）ところの「祖先関係」という概念を、特殊な場合に適用することによってのみ可能なのである。「祖先関係」というこの概念は、既に1879年というかなり前に、フレーゲによって最初に展開されていたが、ホワイトヘッドと私がそれを展開するまでフレーゲの仕事は全く誰にも気が付かれなかった（注意を受けなかった）。我々が定義しようと望んだ概念は、さしあたり（in a preliminary way 予備的な・準備的なやりかた／＝本格的ではないやり方；）次のように説明できるであろう。x が y に対して関係Ｒを持つ時、x から y への一歩をＲステップ（R-step）と呼ぼう。するとさらに y から z へさらにＲステップ（R-step）進むことができるであろう。(そこで)Ｒという関係を持つ x の「子孫」（posterity）を、x から出発してＲステップを何回か進むことによって達しうる全てのものと定義しよう。（この場合、）「有限な数（回数）のＲステップによって」達しうる全てのもの，と我々は言うことはできない。なぜなら、我々が「有限（finite）」という語を定義しておらず、かつそれは、「子孫」という概念を用いてのみ定義しうるものだからである。さてＲという関係を持つその子孫は、次のように定義される。第一に、Ｒに関する「遺伝的」（hereditary）集合というものを我々は定義する。これは、その（集合の）一つの要素（成員）からＲステップ前進することによって達せられるものがやはりその集合の一要素（成員）であるという特性をもった集合である（注：その手続きによってその集合の外に出ることはない、ということ）。たとえば、「スミス」と呼ばれるという特性は、父と息子との関係において遺伝的であり（注：姓を引き継ぐ社会に限定）、また人間であるという特性は親と子との関係において遺伝的である(注：親から猿が生まれることはないという前提あり)。さて、そこで私は次の定義をする。（即ち）「もしxが属しているＲという関係を持ったあらゆる遺伝的集合に y が属しているのならば、y はＲという関係を持った x の子孫に属する。」 さてこれを、普通の全ての整数（whole numbers）に適用し、Ｒの関係の代りに、ある整数がその直後の整数に対してもつ関係を置くことにしよう。そして今、この関係に属する０（ゼロという整数）の子孫を考えると、１はこの子孫（注：後継者）に属することは明らかである。というのは、1 = 0 + 1 であるからである。そしてこのように１が０の子孫に属するがゆえに、２もまたそれに属する（注： 2 = 1 + 1）。さらに２がそうであるがゆえに、３もまたそうである（注：3 = 2 + 1 / あるいは、3 = 1 + 1 + 1）。このように進むと、我々は０の子孫（後継者）に属するところの諸数の集まりの全体を得る。これら全ての数に対して、我々はいわゆる「数学的帰納法」を用いる証明を適用することができる。数学的帰納法とは、もしひとつの特性が０に属し、かつこの特性をもつ任意の数の直接の後続数にも属するならば、その特性は全ての有限な数に属する、という原理である（注：n = (n-1) + 1）。「有限」な数を、０の子孫であると定義するならば、数学的帰納法は、この定義の直接の帰結である。以前には、全ての数は有限でなければならないと考えられていたので、数学的帰納法はひとつの「原理」であると考えられるのが常であった。しかしこれは誤まりであった。数学的帰納法はびとつの「原理」ではなくてひとつの「定義」なのである。それはある数には当てはまるが、他の数には当てはまらない。そしてそれが当てはまるところの数が「有限」な数（有限数）であると定義されるのである。たとえば、有限な数はそれに1を加えることによって増大する。しかるに無限な数はそうでないのである。（注：無限数に１を加えても１増えるわけではない!!）
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Chapter 8 Principia Mathematica: Mathematical Aspects, n.12
The logical theory of selection does not depend at any point upon the concept ‘number’, and we developed it in the Principia before defining ‘number’. The same thing applies to another very important concept, namely, that expressed in ordinary language by the words ‘and so on'.
Suppose you wish to define the concept 'ancestor' in terms of the concept 'parent'. You may say that A is an ancestor of Z if A is a parent of B, B is a parent of C, and so on and, after a finite number of steps, you reach some person Y who is a parent of Z. This would be all very well but for the fact that it contains the word 'finite' and that this word has to be defined. The definition of the word 'finite' is only possible by means of a particular application of a completely general notion, namely, that of the ancestral relation derived from any given relation. This notion of the ancestral relation was first developed by Frege as long ago as 1879, but his work remained quite unnoticed until Whitehead and I developed it. The notion that we wished to define may be explained in a preliminary way as follows: if x has the relation R to y let us call the step from x to y an R-step. You may then be able to make another R-step from y to z. We shall define as the 'posterity' of x with respect to R everything that you can reach by R-steps starting from x. We cannot say everything that you can reach by a 'finite number of R-steps' because we have not yet defined the word 'finite', and we can only define it by means of the conception of 'posterity'. The posterity of x with respect to R is defined as follows. We will first define a 'hereditary' class with respect to R. This is a class which has the property that anything reached by an R-step from one of its members is, again, a member of it. For example, the property of being called 'Smith' is hereditary in the relation of father to son, and the property of being human is hereditary in the relation of parent to child. I now define 'y belong to the posterity of x with respect to R, if y belongs to every hereditary class with respect to R to which x belongs'. Now let us apply this to ordinary whole numbers, putting in the place of R the relation of a number to its immediate successor. If we now consider the posterity of 0 with respect to this number, it is obvious that 1 belongs to this posterity, since 1=0+1; and, since 1 belongs to the posterity of 0, so does 2; and, since 2 does, so does 3. Proceeding in this way, we get a whole set of numbers all belonging to the posterity of 0. To all these numbers, we can apply proofs using what is called ‘mathematical induction'. Mathematical induction is the principle that, if a property belongs to 0 and to the immediate successor of any number which has this property, then it belongs to all finite numbers. Defining ‘finite' numbers as the posterity of 0, this is an immediate result of the definition. It used to be thought that mathematical induction is a principle, since it was thought that all numbers must be finite. This was a mistake. Mathematical induction is not a principle but a definition. It is true of some numbers and not of others. Those of which it is true are defined as the finite numbers. For example, a finite number is increased by adding 1 to it; an infinite number is not.
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