第８章 「数学原理ーその数学的側面」 n.11 - ツェルメロの選択の原理
当該集合群（関係する集合/問題となる集合の集まり）が一つも空集合を含んでいないらば、各集合からびとつの要素（メンバー）を選び出すことは可能でなければならない,ということは自明であると考える人もある。そう考えない人たちもいる。この点について、言いうる最上の言葉は、ペアノによって言われた。（即ち、）「この原理は真だろうかそれとも偽だろうか。これについての我々の意見は、まったく真理値を持たない（ということである）」と。我々（ラッセルとホワイトヘッド）は、我々が「乗法の公理」と名付けたものに定義を与えた。（即ち、）空集合でないところの諸集合の中の各集合からひとつの代表を選ぶことは常に可能である、という想定である。我々はこの公理（選択公理）を真、あるいは偽とする論拠をまったく見い出さなかった。そこで、我々はこの公理を、それを用いるすべての命題の前提（hypothesis 議論の仮定）の中に、明示的に、含めた。我々がこの問題に出会ったと同じ時に、ツェルメロは彼のいわゆる「選択の原理」なるものを提出した。これは我々のとは少し異なるが、論理的には等値なものであった。彼もまたそれを自明の真理とみなす者の一人であった。我々はそういう見解を採用しなかったので、その公理を想定することなしに乗法をとり扱おうとして、できるかぎりの手をつくした。
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Chapter 8 Principia Mathematica: Mathematical Aspects, n.11
Some people consider it self-evident that, if none of the classes concerned is null, it must be possible to make a selection of one from each. Some others think otherwise. On this point, the best that can be said was said by Peano: ‘Is this principle true or false.? Our opinion has no value.' We defined what we called ‘the multiplicative axiom': the assumption that it is always possible to make a selection of one representative from each of a set of classes none of which is null. We found no arguments either for or against this axiom, and we therefore included it explicitly in the hypothesis of any proposition which used it. At the same time that we came upon this problem, Zermelo set up what he called ‘the principle of selection', which is a slightly different but logically equivalent assumption. He was among those who regarded it as a self-evident truth. Since we did not adopt this view, we sought as many devices as possible for dealing with multiplication without assuming the axiom.
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