第６章 「数学における論理的手法」 n.5 - 数とは何か？
算術の哲学は、フレーゲ以前のすべての著者によって間違って考えられていた。彼らの全てが犯した誤まりはとても自然なものであった。彼らは数を数えることによって生ずるものであると考えた。しかし、一（ひとつ）として数えられるものは、同様に多（数）としても同様に（equally well 負けず劣らず）数えられるゆえに、絶望的な困難に陥った。たとえば、イングランドにどれだけのフットボール・クラブ（注：英国ではサッカー・クラブのこと）があるか？という問いをとりあげてみよう。この間いに答える際、我々は各クラブを１つ（１チーム）としてとり扱う。しかしある一つのフットボール・クラブがどれだけの会員をもつかと問うことも同様に質問してもよいであろう（may just as well）。その場合には、我々はそのクラブを（部分を持たない一つのものではなく）多として扱っている。また（さらに）Ａ氏がこれらのクラブの中の一つに属する会員である場合、彼はそれ以前には１（人）として数えられているが、今度は、そのＡ氏がどれだけの数の分子から成っているか、と同様に正当に問うことが可能であろう（問うてもいいだろう）。そうして、その場合には、Ａ氏は多として数えられる（ことになる）。こういうわけで、数える際に何ものかを１たらしめるものは、そのものの物理的性質ではなく、「これは何の一例であるか？(Of what is this an instance?)」という問いなのである（注：人間の例としてなら一人、分子の例としてなら多数、となる）。数えることによって、我々が到達する数は、何らかの集合の数であり、その集合は我々がそれを（その要素/成員）数える前にどのような数であれ数を持っているのである（注：数えなくても人間なら一人、目の数なら２個、背骨の数は◯◯個、・・・等々）。集合が多であるのは、ただ何らかのものの多数の例としてである。そしてその集合自身（それ全体を一つとして考えた場合）はまた何か他の（別の）ものの例でありうるのであり、その例としては一（つ）として数えられる（in enumeration 列挙すると、数えると）。このようにして，我々は「集合とは何か？」，また，「例とは何か？」という問いに対峙することを強いられる。この二つの問いはいずれも、命題関数（函数）という方法（手段）を用いないでは理解することができない。命題関数（函数）というのは、一つの変項を含む式(an expression 数式や論理式)であり、その変項に一つの値が指定される（割り当てられる）やいなや、一つの命題となるものである。たとえば、「x は人間である」は、一つの命題函数である。そして x の代りにソクラテスやプラトンやその他の誰かを置くと、我々は命題を得るのである。我々はまた，x を、人でないところのもので置きかえることもでき、そしてそれでもやはり（still）一つの命題を得るが、その場合には偽なる命題を得るわけである（注：たとえば、自宅の犬のポチを代入すると、「愛犬のポチは人間である」という偽命題ができる）。命題関数（函数）とは、一つの式（注：an expression 数式や論理式／因みに、みすず書房刊の野田訳では「表現」と訳出されている。）にすぎない。それは、それだけでは何ものをも表さない。しかし，それは、真偽いずれにせよ，何ものかを主張する文の一部を形作ることが可能である。「x は使徒であった」は、何ごとも意味しないが、「x は使徒であった』を真ならしめるような値が12ある（注：１２使徒のこと）」というのは完全（完璧）な文である。同様な考察（similar consideration）が、例（実例）という概念にも当てはまる。我々が何ものかを一つの例と見るとき、我々はそれをある命題関数の変項のもちうる一つの値と考えている。たとえば「ソクラテスは人間の一例である」と私が言うとき、私はソクラテスが、「x は人間である」を真にするxの一つの値である、ということを意味している。(中世の)スコラ哲学者は「一」（One）と「存在」（being）とは交換可能な名辞(terms)であるという趣旨の（to the effect that）格率（a maxim）を立てていた。この格率は、それが信ぜられているかぎり、(数の）１を定義することを不可能にした。実を言えば、「存在」は無用な（役に立たない）語であり、この無用な語が間違った仕方であるものに適用されると、それは一であるとともに多である，ということになりがちである。一は一つの特性（特質）であるが、それはもの（物）の特性（特質）ではなく、ある種の命題関数（函数）、つまり、次のような特性（特質）をもつ命題関数（函数）の特性（特質）である。（即ち）その関数を真にするx があり、しかも、もしy がその関数を真にするならば、y は x と同一である、という特性（特質）である。これがただ一つの値をもつ関数（unitary function）の定義であり、数１はある種の関数がもつところの「ただ一つの値をもつ」（being unitary）という特性（特質）なのである。同様にして「空（くう）なる関数」（null-function）とは、x のあらゆる値に対して偽となる関数であり、0 とは「空なる関数である」という特性（特質）なのである。
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Chapter 6: Logical Technique in Mathematics, n.5
The philosophy of arithmetic was wrongly conceived by every writer before Frege. The mistake that all of them made was a very natural one. They thought of numbers as resulting from counting, and got into hopeless puzzles because things that are counted as one can equally well be counted as many. Take, say, the question, 'How many football clubs are there in England？’ In answering this question, you treat each club as one, but you may just as well ask: 'How many members has such and such a football club.' In that case, you treat the club as many. And, if Mr A is a member of one of these clubs, although he counted as one before, you may ask just as legitimately, 'How many molecules make up Mr A?' And, then, Mr A counts as many. It is obvious, therefore, that what makes anything one from the point of view of counting is not its physical constitution but the question, ‘Of what is this an instance?' The number that you arrive at by counting is the number of some collection, and the collection has whatever number it does have before you count it. It is only qua many instances of something that the collection is many. The collection itself will be an instance of something else, and qua instance counts as one in enumeration. We are thus forced to face the question, 'What is a collection?' and 'What is an instance?' Neither of these is intelligible except by means of propositional functions. A propositional function is an expression containing a variable and becoming a proposition as soon as a value is assigned to the variable. For example, 'x is a man' is a propositional function. If, in place of x, we put Socrates or Plato or anybody else, we get a proposition. We can also replace x by something that is not a man and we still get a proposition, though in this case a false one. A propositional function is nothing but an expression. It does not, by itself, represent anything. But it can form part of a sentence which does say something, true or false: 'x was an Apostle' says nothing, but‘there are twelve values of x for which "x was an Apostle" is true' is a complete sentence. Similar considerations apply to the concept instance. When we consider something as an instance, we are considering it as a possible value of a variable in a propositional function. If I say, ‘Socrates is an instance of Man' I mean Socrates is a value of x for which 'x is a man' is true. The Scholastics had a maxim to the effect that one and being are convertible terms. This maxim, so long as it was believed, made it impossible to define 1. The truth is that being is a useless word, and that the kind of things to which this useless word is applied by those who mistakenly use it are just as apt to be many as to be one. One is a characteristic, not of things, but of certain propositional functions, namely, of those propositional functions which have the following property: there is an x which makes the function true and which is such that, if y makes the function true, y is identical with x. This is the definition of unitary functions, and the number 1 is the property of being unitary which certain functions possess. Similarly, a null-function is one which is false for all values of x, and 0 is the property of being a null-function.
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