第10章 「ヴィトゲンシュタインの衝撃」 n.23 - ２つの論理的矛盾の区別
ラムジーの仕事（work）が決定的に正しいと認められるべきだと私には思われるところの、もうひとつの問題がある。私は様々な論理的矛盾を列挙した。即ち、「私は嘘をついている」という者によって例示される集合（に関わる論理的矛盾）、最大の基数が存在するかどうかという問題によって例証される集合（に関わる論理的矛盾）などである。ラムジーは、前者は、語あるいは句とそれらの意味との関係に関わる論理的矛盾であり、これらの二つのものの混同から生ずる、ということを示した。この混同が回避されると、この種の論理的矛盾は消滅する。もう一方（後者の）の論理的矛盾は、ラムジーは、ただ「型の学説(the doctrine of types)」によってのみ解決されるという考えている（考えていた）。『プリンキピア・マテマティカ(数学原理)』においては、型（タイプ）の二つの異なる種類の階層が存在していた。（即ち）(まず)外延的な型の階層があり、それは個物、個物の集合、個物の集合の集合等々である。ラムジーはこの階層を保持している。しかし、もう一つの階層も存在しており、これが還元公理を必要とさせた（他の/別の）階層であった。これは、所与の独立変数（augument）の関数の階層、あるいは（言い換えれば）所与の対象の諸属性の階層であった。まず(諸)関数の全体に言及しない述語的関数があり、次に（たとえば）「ナポレオンは偉大な将軍のもつあらゆる性質をもっていた」というような、述語的関数の全体に言及する関数があった。これらを「第一次の関数」と言ってよいであろう。それから、この第一次の関数の全体に言及する関数があり、その他、際限なく進む（ad infinitum）。ラムジーはこの（後者）を「命題関数」という概念についての彼の新たな解釈によって廃棄し、そうして、外延的階層のみが残されている。私は彼のこの理論は妥当であると思う（妥当であることを願っている）。
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Chapter 10 The Impact of Wittgenstein, n.23
There is another matter on which Ramsey's work should, I think, be accepted as definitely right. I had enumerated various contradictions, one class of which is exemplified by the man who says 'I am lying', while the other class is illustrated by the problem as to whether there is a greatest cardinal number. Ramsey showed that the former class has to do with the relation of a word or phrase to its meaning and results from a confusion of these two. When this confusion is avoided, contradictions of this class disappear. The other class of contradictions, Ramsey holds, can only be solved by means of the doctrine of types. In the Principia there were two different kinds of hierarchies of types. There was the extensional hierarchy: individuals, classes of individuals, classes of classes of individuals, and so on. This hierarchy Ramsey retains. But there was also another hierarchy, and it was this other that necessitated the axiom of reducibility. This was the hierarchy of functions of a given argument or properties of a given object. There were first predicative functions, which did not refer to any totality of functions; next, there were functions referring to the totality of predicative functions such as, 'Napoleon had all the qualities of a great general'. These we might call 'first order functions'. Then there were functions referring to the totality of first order functions, and so on, ad infinitum, Ramsey abolishes this hierarchy by means of his new interpretation of the concept 'propositional function', and is thus left with only the extensional hierarchy. I hope his theories are valid.
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