第７章 「数学原理ーその哲学的側面」 n.10 - 命題関数についてなされうること
今なら私は（今の私なら）、問題をいくらか違った言い方をするであろう（phrase the matter）。（即ち）何らかの命題関数 －たとえばf x- が与えられるならば、この関数を「有意義」ならしめる －即ち、真あるいは偽ならしめる－ x の一定の範囲の値が存在する。もし a がこの範囲の値の中にあるならば、fa は真あるいは偽である一つの命題である。ところでこのように変項 x に定数 a を代入することのほかに、命題関数についてなされうるもう二つのことがある。ひとつは、その命題関数が常に真であると主張することであり、もう一つは、その命題関数が時に真であると主張することである。（たとえば）「もし x が人間ならば、x は死ぬものである（死ぬべき運命を有するものである）」という命題関数は常に真である。「x は人間である」という命題関数は、時に真である（注：人間でない場合もあるため）。このようにして命題関数についてなされうることは三つあることになる。第一は変項に定数を代入することであり、第二は関数の全ての値を主張することであり（注；全て真あるいは全て偽、という主張）、第三はいくつかの値、あるいは少なくとも一つの値を（真あるいは偽であると）主張することである。命題関数そのものは、ひとつの表現（expression 式）にすぎない。命題関数そのものは何も主張したり否定したりしない。同様に、ひとつの集合もひとつの表現にすぎない。それは、関数を真ならしめるような変項の値について語るための便利な方法にすぎないのである。
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Chapter 7: Principia Mathematica: Philosophical Aspects, n.10
I should now phrase the matter somewhat differently. I should say that, given any propositional function, say fx, there is a certain range of values of x for which this function is 'significant' - i.e. either true or false. If a is in this range, then fa is a proposition which is either true or false. In addition to substituting a constant for the variable x, there are two other things that may be done with a propositional function: one is to assert that it is always true; and the other, that it is sometimes true. The propositional function, 'if x is human, x is mortal' is always true; the propositional function, 'x is human' is sometimes true. There are thus three things that can be done with a propositional function: the first is to substitute a constant for the variable; the second is to assert all values of the function; and the third is to assert some values or at least one value. The propositional function itself is only an expression. It does not assert or deny anything. A class, equally, is only an expression. It is only a convenient way of talking about the values of the variable for which the function is true.
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