バートランド・ラッセル 私の哲学の発展 第４章 （松下訳）- My Philosophical Development, by Bertrand Russell

第４章　観念論への脇道 n,5 - 「数と量との関係」

　私はこの論文で数理哲学における最も根本的な問題の一つを論じたい。微積分学（infinitesimal calculus）及びそのすべての帰結についての,要するに,高等数学全体についての,我々の解釈は、この関係（注：数と量との関係）について我々がいかなる見解を採るかに，依存していると言わなければならない。まさに連続の観念も －－ この観念は数学におけると同様哲学においても次第に人目を引くようになってきたものであり、特に近年、ヒユームとカントがともに持っていた原子論的見解をおしのけるにいたっている－－ 数学において数に対する量の意義が（相対的に）どの程度に認められるかにより（relative justification）、必然的に、左右されなければならない(stand or fall 成功するあるいは失敗する)と私は考える。けれども、ここでは数学的考察を行う必要はないだろう。数と量とを純粋に論理的な側面から考察することで十分であろう。私は,「量」という言葉を常に連続量と同等である（同じ意味をもつ）ものとして用いることにしよう。そしてこの論文において 連続的という語の意味を明瞭にすることに努めることにしよう。

　私の議論（論証）は以下のようになるであろう。最初に私は数を論じ（数について論じ）、正の整数（positive integers）を超えて数を拡張すること（注：負の整数、少数・・・）は、(数の)単位の特性をしだいに消滅させること（gradual absorbsion しだいに吸収すること）によって起るものであること、そうして,数の拡張は数全体に関する情報をしだいに減少させることを、私は示すであろう（shall show）(注：わかりにくいが、正の整数の場合は、１個、２個というように応用できる、負の整数の場合は借金として考えることができる。しかしそうした解釈も、分数、少数、虚数・・・となっていくと、この世の中に実例がある数として考えられなくなっていく、また、数とは何かということもわかりにくくなっていく、といったところだろうか？)。次に私は、数を連続体へ適用することを論じ(注：物を分割できて初めて数えることができる／たとえて言えば被連続体である数個の角砂糖と連続体であるコップ一杯の水)、数自体は量に関してまったく情報を与えず、既存の量的単位との比較を与えるのみであることを、示す（明らかにする）ことに努めることにしよう（注：これもわかりにくいが、小さなコップの中の水については水の分子の数のようなものを数えるなら数がでてくるが、通常は、数の概念は出てこない。しかし、小さなコップの正確に３倍の大きさのコップに水が入っているとすると、両者を比較すると、１：３という数がでてくる）。従って、量は単位の分析において探求されなければならない，と思われるだろう。量とはいろいろな量（的なもの）の固有の（本質的）ひとつの特性であると仮定し（Assuming quantity to be an intrinsic property of quantities）、私は（以下）２つの仮説について論ずることにしよう。第一の仮説は、量を他のものに還元することのできないカテゴリー（範疇）と見なすものであり、第二の仮説は、量を直接的な感覚的所与（センス・データ）と見なすものである。第一の仮説を採用する時、外延量（extensive quantity 「示強量」という訳語もあるがわかりにくい）がその分割可能性(を仮定すること)によって矛盾に陥ち、本当は分割できないものであり、それゆえ内包的なものとして受け取られなければならないことがわかるであろう(intensive 論理学用語で「内包的」。「内包」とは,ある概念がもつ共通な性質のこと。性質は分割できない。内包に対する言葉は「外延」。広がりのある外延は分割可能)。しかし,内包量（intensive quantity 「示容量」という訳語もあるがわかりにくい）が、もしいろいろな内包量の固有の一特性であるとしたら、内包量もまた,それらの諸特性の単なる関係にすぎないに違いない、と思われるであろう。従って,第一の仮説、即ち、量は一つの内包的特性を示すカテゴリー（範噂）であるという仮説は、斥けられねばならないことになるであろう。さて第二の仮説、すなわち量は感覚における所与（データ）であるという仮説もまた、矛盾に導くことが見出されるであろう。それゆえ、我々は量がいろいろな量の内包的特性であるという見解を斥けざるをえないであろう。（そこで）その代わりに、我々は量を比較のカテゴリー（範噂）の一つと見なそう。量的にとり扱うことができるものの間には、量的に比較できる質的に類似のものが存在するという、外面的な（外部的な）特性（extraneous property）のうちに含まれるものを除いて、共通の特性はまったく存在しない,と我々は言おう。このことは、量のカテゴリー（範疇）を、最も広い意味での，尺度（measure）のカテゴリー（範噂）に変えることであり、こうして前の多くの困難（問題）は消滅する，と私は考える。しかし同時に、量と数との全ての関係（conexion = connection）は消滅するであろう。（つまり）量、あるいは尺度は、数とは全く独立した比較（の）概念である、と我々は言うであろう。しかし、尺度（measure）のうちに含まれる比較の種類についての議論は、以前の困難（問題）を新たな形で再び呼び戻すであろう。比較される諸項は －－もはや量的なものとは見なされないが－－ やはり、この論文の最初の部分で量そのものに属するに属していたであろうものに類似した矛盾に感染している（陥っている）ことに気づくであろう。私は、量とは現実的ならびに可能的な直接の所与（データ）の集合にのみ適用可能であり，いかなる十分に理解される物質(?)（fully understood material）には適用されないものである、と私は結論する（結論を下すことにしよう）。

Chapter 4: Excursion into Idealism, n.5

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However, there was worse to follow. My theory of geometry was mainly Kantian, but after this I plunged into efforts at Hegelian dialectic. I wrote a paper 'On the Relations of Number and Quantity' which is unadulterated Hegel. The gist of this paper is contained in its first two paragraphs, which are as follows:

I wish in this paper to discuss one of the most fundamental questions of mathematical philosophy. On the view we take of this relation must depend our interpretation of the Infinitesimal Calculus and all its consequences -- in a word, of all higher mathematics. The very idea of the continuum --- an idea which, in philosophy as in mathematics, has become gradually more and more prominent, and has, of late especially, ousted the atomic views which were shared by Hume and Kant --- must stand or fall, I think, with the relative justification of quantity in mathematics as against number. It will not be necessary, however, to deal with mathematical considerations here; it will be sufficient to consider number and quantity in their purely logical aspects. I shall use quantity, always, as equivalent to continuous quantity, and I shall endeavour, in the course of the paper, to make clear the meaning of the word continuous.

My argument will be as follows: First, I shall discuss number, and show that its extensions beyond the positive integers result from a gradual absorption of the properties of the unit, and give a gradually diminishing information as to the whole. Then I shall discuss the application of number to continua, and shall endeavour to show that number per se gives no information as to quantity, but only comparison with an already quantitative unit. It will appear, therefore, that quantity must be sought in an analysis of the unit. Assuming quantity to be an intrinsic property of quantities, I shall discuss two hypotheses. The first regards quantity as an irreducible category, the second regards it as an immediate sense-datum. On the first hypothesis, we shall see that extensive quantities are rendered contradictory by their divisibility, and must be taken as really indivisible, and so intensive. But intensive quantity too, it will appear, must, if it be an intrinsic property of intensive quantities, be also a mere relation between them. The hypothesis that quantity is a category giving an intrinsic property will therefore have to be rejected. The hypothesis that quantity is a datum in sense will also be found to lead to contradictions. We shall be forced, therefore, to reject the view that quantity is an intrinsic property of quantities. We shall regard it, instead, as a category of comparison ; there is no common property, we shall say, among things that can be treated quantitatively, except what is involved in the extraneous property that there are other qualitatively similar things with which they can be quantitatively compared. This will turn quantity into measure, in the broadest sense, and with this, I think, our previous difficulties will cease. But at the same time, every connexion with number will cease -- quantity or measure, we shall say, is a wholly independent conception of comparison. But a discussion of the kind of comparison involved in measure will bring back our previous difficulties in a new form; we shall find that the terms compared, though we no longer regard them as quantitative, are infected with contradictions similar to those which, in the first part of the paper, will have belonged to quantity itself. I shall conclude that quantity is only applicable to classes of actual and possible immediate data, and not to any fully understood material.

Although Couturat described this article as 'ce petit chef d'oeuvre de dialectique subtile', it seems to me now nothing but unmitigated rubbish.